Stability and particular solutions of linear differential equations (Q1482081)

Physikalische Probleme der Stabilität (vgl. z. B. des Verf. Note ``Zum Turbulenzproblem'', Gött. Nachr. 1911) führen zu folgender rein mathematischen Fragestellung: Gegeben sei in einem Bereiche \(x\), \(y\) eine lineare homogene Differentialgleichung \(2n\)-ter Ordnung für die abhängige Veränderliche \(u\) \[ L_{2n}\left(\frac{\partial}{\partial t},\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, u, x,y\right)=0. \] Die Ableitung nach der Zeit \(t\) komme nur, wenn auch vielleicht kombiniert mit anderen, in der ersten Ableitung vor, \(t\) selbst explizit nicht. Am Rande des Gebietes möge \(u\) nebst den ersten \(n-1\) Ableitungen nach der Normale dauernd verschwinden. Dann wird \(u\) i. a. bestimmt sein, wenn man noch \(u = u_0\) zu Anfang (\(t = 0\)) kennt. Andrerseits gibt es jedenfalls Lösungen der Form \(e^{\lambda t}\varphi (x,y)\) für geeignete \(\lambda\) (die ``Eigenwerte''), und es möge feststehen, daß sich die allgemeine Lösung, welche den genannten Randbedingungen genügt, in der Form \(u=\sum ce^{\lambda t}\varphi(x,y)\) darstellen lasse, wo die \(c\) willkürliche Konstanten sind. Angenommen nun, alle Eigenwerte \(\lambda\) haben negativ-reellen Bestandteil: ist dann für jedes \(u_0\) auch \(\lim\limits_{t=\infty}\max|u|=0\), oder bleibt doch wenigstens \( \iint u^2\,dx\,dy\), über das ganze Gebiet erstreckt, dauernd unterhalb einer endlichen Grenze, die mit \( \iint u_0^2\,dx\,dy\) unendlich klein wird? Verf. zeigt zunächst an einem Beispiel, daß die Frage im allgemeinen nicht ohne weiteres bejaht werden kann, und löst dann das Problem vollständig für den einfachsten Fall \[ \frac{\partial u}{\partial t}=L(u)\equiv a(x)\cdot u + 2b(x)\cdot \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial}{\partial x} \left(c(x)\cdot \frac{\partial u}{\partial x}\right) \] unter folgenden Annahmen: 1. Das Intervall sei endlich, etwa \(0\leqq x\leqq h\); \(c(x)\), \(b(x)\), \(a(x)\) seien in diesem Intervall regulär; außerdem werde \(c(x)\) nirgends Null und bleibe also (der Fall negativer \(c(x)\) kommt nicht in Frage) oberhalb einer festen Grenze \(N:c(x)\geqq N>0\). 2. An den Grenzen \(x=0\) und \(x=h\) sei dauernd \(u=0\); zu Anfang \((t=0)\) sei \(u=u_0\) eine reguläre Funktion von \(x\). 3. Die ``Eigenwerte'' \(\lambda\), für welche \(\lambda\varphi=L(\varphi)\) den Randbedingungen entsprechende, von Null verschiedene Lösungen hat (die ``Eigenfunktionen'' \(\varphi\)), seien alle negativ. -- Spricht man nun von starker Stabilität, wenn stets \(J= \int u^2\,dx\) abnimmt, von schwacher Stabilität, wenn wenigstens \(\lim J =\int\limits_0^hu^2\,dx\) unterhalb einer endlichen Grenze bleibt, die mit \( \int\limits_0^h u_0^2\,dx\) gegen Null geht, aber zu Anfang \(\dfrac{\partial J}{\partial t}>0\) sein kann, endlich von Labilität, wenn \( \int u^2\,dx\) bei gegebenem \( \int\limits_0^hu_0^2\,dx\) über alle Grenzen wachsen kann, so gilt folgender Satz: ``Unter den angegebenen Voraussetzungen 1., 2., 3. ist im Fall \(b=0\) stets starke Stabilität, im Fall \(b\gtrless 0\) mindestens schwache Stabilität vorhanden. Labilität ist ausgeschlossen.'' Am Schluß gibt Verf. die notwendige und hinreichende Bedingung dafür an, daß alle Eigenwerte \(\lambda\) negativ sind.