On the fundamental lemma of the calculus of variations, and on some related theorems. (Q1482085)

Das Fundamentallemma der Variationsrechnung wird in folgender Form bewiesen, die allgemeiner ist, als die bisher bewiesenen: Verschwindet \( \int\limits_{x_0}^{x_1} f(x)P(x)\,dx\), wo \(f(x)\) eine im Sinne von \textit{Lebesgue} integrierbare Funktion bedeutet, für alle in \(x_0\) und \(x_1\) samt ihren \(p\) ersten Ableitungen verschwindenden Polynome \(P(x)\), so ist \(f(x)\) im Intervalle \((x_0,x_1)\) überall \(= 0\), abgesehen von einer Punktmenge des Inhaltes 0 (im Sinne von \textit{Lebesgue}). Ähnlich werden die folgenden Theoreme bewiesen, die gleichfalls Verallgemeinerungen bekannter Sätze der Variationsrechnung sind: Verschwindet \( \int\limits_{x_0}^{x_1}f(x)Q(x)\,dx\) für alle in \(x_0\) und \(x_1\) samt ihren \(p\) ersten Ableitungen verschwindenden Polynome \(Q(x)\), für die \( \int\limits_{x_0}^{x_1} g(x)Q(x)\,dx=0\) ist, so ist in \((x_0,x_1)\), abgesehen von einer Punktmenge des Inhaltes 0, \(f(x)+\lambda g(x)=0\), wo \(\lambda\) eine Konstante bedeutet Verschwindet \( \int\limits_{x_0}^{x_1}f(x)\frac{d^p}{dx^p}P(x)\,dx\) für alle in \(x_0\) und \(x_1\) mit ihren \(p-1\) ersten Ableitungen verschwindenden Polynome \(P(x)\), so unterscheidet sich \(f(x)\) in \((x_0,x_1)\) von einem Polynome \((p-1)\)-ten Grades nur in einer Punktmenge vom Inhalte 0. Verschwindet: \[ \int\limits_{x_0}^{x_1}\left\{q_0y+q_1\frac{dy}{dx}+ \cdots + q_p\frac{d^py}{dx^p}\right\}f(x)\,dx, \] wo \(f(x)\) eine stetige Funktion bedeutet, für alle samt ihren \(p-1\) ersten Ableitungen in \(x_0\) und \(x_1\) verschwindenden Polynome \(y\), dann genügt \(f(x)\) der zu: \[ q_0y+q_1\frac{dy}{dx}+\cdots + q_p\frac{d^py}{dx^p}=0 \] adjungierten Differentialgleichung.