Über eine Verallgemeinerimg des Begriffes ``Linienintegral'', über integrierbare Differentialausdrücke und über das identische Verschwinden der Hauptgleichungen der Variation. (Erste Mitteilung.) (Q1482087)

Die notwendige und hinreichende Bedingung, daß das Integral: \[ z=\int\limits_{t_0}^tf(\tau,\xi_1,\xi_1',\ldots,\xi_1^{(\nu_1)}; \xi_2,\xi_2',\ldots,\xi_2^{(\nu_2)};\ldots; \xi_m,\xi_m',\ldots,\xi_m^{(\nu_m)})\,d\tau \] vom Wege unabhängig sei für alle entsprechend oft differenzierbaren Funktionen \(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_m\) von \(\tau\), die für \(\tau=t_0\) und \(\tau=t\) samt ihren in diesem Integrale auftretenden Ableitungen vorgeschriebene Werte annehmen, wird durch das identische Verschwinden der ersten Variation ausgedrückt. Werden die Anfangswerte der \(\xi\) und ihrer Ableitungen für \(\tau=t_0\) festgehalten, so wird das Integral \(z\) eine Funktion von \(t\) und der Werte der \(\xi_i\) und ihrer Ableitungen bis zur \((\nu_i-1)\)-ten Ordnung für \(\tau=t\); die partiellen Ableitungen erster Ordnung dieser Funktion können ohne weiteres angegeben werden.