Über die Integrabilitätsbedingungen beim Bestehen von Nebenbedingungen. (Q1482107)

Die Frage nach den Integrabilitätsbedingungen für den Differentialausdruck \[ P(x,y_1,\ldots,y_n)\,dx+\sum_{i=1}^nQ_i(x,y_1,\ldots,y_n)\,dy_i \tag{1} \] ist gleichbedeutend mit der Frage nach den Bedingungen, unter welchen der Wert des Integrals \[ J=\int\left\{P(x,y_1,\ldots,y_n) + \sum_{i=1}^nQ_i(x,y_1,\ldots, y_n)y_i'\right\}\,dx \tag{2} \] vom Integrationsweg unabhängig ist. In dieser letzteren Form gehört die Aufgabe in das Gebiet der Variationsrechnung, und die Variationsrechnung ist es auch, welche die folgende Verallgemeinerung der Aufgabe nahelegt, die den Gegenstand der vorliegenden Untersuchung bildet: Die Bedingungen zu finden, unter welchen das Integral (2) vom Integrationsweg unabhängig ist für alle dieselben Endpunkte verbindenden, ganz in einem gewissen Bereich gelegenen Kurven, welche außerdem noch einer Anzahl \(m < n\) von Nebenbedingungen in der Form von Differentialgleichungen genügen: \[ \varphi_\beta(x,y_1,\ldots,y_n,y_1',\ldots,y_n') = 0 \quad (\beta=1,2, \ldots, m). \tag{3} \] Das Resultat ist folgendes: Wenn \(n\geqq 2m\), so sind, von gewissen Ausnahmefällen abgesehen, die Integrabilitätsbedingungen dieselben wie beim Problem ohne Nebenbedingungen, nämlich: \[ \frac{\partial P}{\partial y_k}=\frac{\partial Q_k}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q_i}{\partial y_k}=\frac{\partial Q_k}{\partial y_i} \quad (i,k=1,2,\ldots,n). \] Damit ist nicht gesagt, daß der Satz für \(n<2m\) nicht mehr gilt; aber in diesem Fall versagt das vom Verf. benutzte Beweisverfahren. Die vom Verf. behandelte Frage ist von Wichtigkeit für die Theorie des \textit{Hilbert}schen Unabhängigkeitssatzes (vgl. des Verf. ``Vorlesungen über Variationsrechnung'' Leipzig 1909) für das \textit{Lagrange}sche Variationsproblem. Man pflegt bei demselben die Bedingungen zu untersuchen, unter welchen der Wert des ``\textit{Hilbert}schen Integrals'' vom Weg unabhängig ist für alle dieselben beiden Punkte eines Extremalenfeldes verbindenden Kurven, welche ganz im Felde verlaufen. Dagegen ist für die Anwendung des Unabhängigkeitssatzes zur Aufstellung des \textit{Weierstraß}schen Fundamentalsatzes nur erforderlich, daß das \textit{Hilbert}sche Integral für diejenigen unter den oben genannten Kurven vom Wege unabhängig ist, welche den Nebenbedingungen des gegebenen \textit{Lagrange}schen Problems genügen. Diese Dissonanz, auf welche kürzlich \textit{Radon} (Wien. Ber. 119, 1258; F. d. M. 41, 438 (JFM 41.0438.*), 1910) aufmerksam gemacht hat, findet, wenigstens für \(n \geqq 2m\) und abgesehen von den erwähnten Ausnahmefällen, ihre Auflösung in dem vom Verf. bewiesenen Satz.