Sur une classe de fonctions d'une variable complexe. (Q1482126)

Es mögen \(u(x,y)\), \(v(x, y)\) stetige, reelle Funktionen, die stetige partielle Ableitungen erster Ordnung haben, bezeichnen. Es sei \(C\) eine geschlossene, doppelpunktfreie, regulär analytische Kurve in der Ebene der Variabeln \(x\) und \(y\) und \((x,y_0)\) ein Punkt im Innern des von \(C\) begrenzten Gebietes. Der Verf. betrachtet den Quotienten \[ \varDelta=\frac{\int\limits_C(u+iv)(dx+idy)}{\frac 12 \int\limits_C (x\,dx-y\,dx)}. \] Es ist \[ \begin{gathered} \lim\limits_{C=0}\varDelta=p_0 + iq_0, \\ p_0=-\left(\frac{\partial u(x_0,y_0)}{\partial y_0}+\frac{\partial v(x_0,y_0)}{\partial x_0}\right), \quad q_0=\frac{\partial u(x_0,y_0)}{\partial x_0} -\frac{\partial v(x_0,y_0)}{\partial y_0}. \end{gathered} \] Der Ausdruck \(p_0+iq_0\) heißt die areolare Ableitung der Funktion \(u+iv\) im Punkte \(x_0+iy_0\). Ist die areolare Ableitung in einem Gebiete vorhanden und stetig, so heißt \(u + iv\) in jenem Gebiete holomorph \((\alpha\)). Jedes beliebige Paar von Funktionen \(u(x,t)\), \(v(x,y)\), die stetige Ableitungen erster Ordnung haben, bildet sonach eine areolar holomorphe Funktion. Die neuen Definitionen können nur insofern einen Wert haben, als sich an sie bestimmte Problemstellungen schließen, so die Bestimmung einer Funktion, die ihrer areolaren Ableitung gleich ist usw.