Sur quelques points de la théorie des fonctions sommables. (Q1482141)

In der \textit{Borel}schen Note wird ein Aufbau der Theorie der Punktmengen und der reellen Funktionen skizziert, bei welchem alle Mengen und Funktionen durch Grenzübergang aus den einfachsten Gebilden (endlichviele Intervalle oder Polynome) entstanden gedacht werden. Als mengenerzeugende Prozesse dienen: 1. Die Vereinigung abzählbar vieler Mengen ohne gemeinsame Punkte, 2. die Bildung der Komplementarmenge. Was die Funktionen betrifft, so werden zu ihrer Definition Polynomfolgen benutzt, die ``en mesure'' (nach der Definition von \textit{F. Rieß}; \textit{Borel} sagt ``asymptotiquement'') gegen eine Grenze konvergieren. \textit{Riesz} erscheint es einfacher, statt der Polynome stückweis konstante Funktionen (er nennt sie ``einfache'' Funktionen) zu verwenden. Für ihn ist, wenn es sich um einen ``elementaren'' Aufbau der \textit{Lebesgue}schen Theorie handelt, der entscheidende Punkt, ob man das Studium der meßbaren Mengen vermeiden kann. Dies gelingt, wenn man den Begriff der summablen Funktion so definiert: Die beschränkte Funktion \(f\) heißt summabel, wenn man eine Folge einfacher Funktionen \(f_n\) angeben kann, die in ihrer Gesamtheit beschränkt ist und gegen \(f(x)\) konvergiert bis auf eine Menge vom Maße 0.