Sur une série de polynomes qui, ordonnée convenablement, peut représenter une fonction continue quelconque. (Q1482171)

Der Verf. beweist folgenden merkwürdigen Satz: Es gibt eine nach Polynomen fortschreitende Reihe \(P_1(x) + P_2(x) + P_3(x) + \cdots\), die bei passender Umstellung ihrer Glieder geeignet ist, gleichmäßig gegen jede beliebig vorgelegte, zwischen 0 und l stetige Funktion zu konvergieren. Der Verf. betrachtet zunächst die abzählbare Menge der Polynome mit rationalen Koeffizienten: \(\varPi_1(x)\), \(\varPi_2,\ldots\); ist sodann \(\gamma_m > 1\) eine obere Schranke von \(|\varPi_m(x)|\) (\(0\leqq x\leqq 1\)), so bildet er die Polynome \(Q_{mn}(x) =\dfrac{(-1)^n}{n}\dfrac{\varPi_m(x)}{2^m\gamma_m}\) (\(m = 1, 2,\ldots\); \(n = 1, 2,\ldots\)); dieselben werden in eine einfach unendliche Reihe gebracht und sind dann mit \(P_1(x)\), \(P_2(x),\ldots\) identisch. Jede zwischen 0 und 1 stetige Funktion \(f(x)\) kann nun bekanntlich (noch auf unendlich viele Weisen) durch eine Reihe folgender Art dargestellt werden: \(f(x) =\varPi_{m_1}(x)\delta_{m_1}+\varPi_{m_2}(x)\delta_{m_2}+\cdots\); die \(\delta_{m\nu}\) sind entweder Null oder 1, und die Zahlen \(m_1\), \(m_2,\ldots\) sind in anderer Reihenfolge die natürlichen Zahlen \(1,2,\ldots\); dann wird \(\delta_\mu\) durch passende Umordnung der Reihe \(\sum\limits_1^\infty{\nu}\, \dfrac{(-1)^\nu}{\nu}\dfrac1{2^\mu\gamma_\mu}\) dargestellt, \(\delta_\mu=\sum\limits_1^\infty{\nu}\, \dfrac{(-1)^{n_\nu}}{n_\nu} \dfrac1{2^\mu\gamma_\mu}\); dadurch erhält man \(f(x) =\sum\limits_1^\infty{ \mu}\,\sum\limits_1^\infty{\nu}\, Q_{n_\nu m_\mu}(x)\), und diese Reihe läßt sich in eine einfach unendliche \(P_1(x)+ P_2(x)+\cdots\) umordnen.