On a theorem of \textit{Riesz-Fischer}. (Q1482177)

Die Arbeit soll vor allem ein Referat sein über die von verschiedenen Autoren erbrachten Beweise des \textit{Riesz-Fischer}schen Theorems, welches in der \textit{Fischers}chen Formulierung besagt, daß \(\lim\lim\limits_{m,n=\infty}\int\limits_0^1(f_m-f_n)^2dx=0\) eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, daß in dem durch die Gleichung \(\lim\limits_{n=\infty}\int\limits_0^1(f_n-f)^2dx=0\) festgelegten Sinne gegen eine Grenzfunktion \(f\) konvergiert. Die Anwendung auf trigonometrische Reihen wird besonders ins Auge gefaßt. Aber es werden auch einige neue Sätze aufgestellt, die in den Zusammenhang dieses Fragenkreises hineingehören. So wird gezeigt: Dafür, daß eine vorgegebene trigonometrische Reihe die \textit{Fourier}sche Reihe einer Funktion \(f\) ist, deren \((1+p)\)-te Potenz ``summabel'' ist, ist es notwendig und hinreichend, daß \(\int\limits_{-\pi}^{+\pi}|f_n(x)|^{1+p}dx\) unterhalb einer endlichen Grenze bleibt, wobei unter \(f_n\) die \(n\)-te Partialsumme der Reihe bei Summation durch \textit{Cesarò}sche Mittel ist. Daß aber \(\lim\int\limits_E f_ndx=0\) ist, wenn man \(n\) gegen \(\infty\) wachsen läßt und dabei die Menge \(E\) gleichzeitig so variiert, daß ihr Maß gegen 0 konvergiert, ist die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß die Reihe überhaupt eine \textit{Fourier}sche ist.