Über die Nullpunkte linearer Aggregate von Funktionen. (Q1482219)

Es seien \(\varphi_0(x)\), \(\varphi_1(x),\ldots\), \(\varphi_n(x)\) \(n+1\) linear-unabhängige, reelle, eindeutige, endliche und stetige Funktionen der reellen Veränderlichen \(x\) für das Intervall \((a\ldots b)\), die für die betrachteten Werte von \(x\) genau \(n\) endliche und stetige Differentialquotienten besitzen. Man bilde die \(n+1\) Determinanten: \[ \varDelta_\nu=\left| \begin{matrix} \varphi_0(x) & \varphi_1(x)&\ldots&\varphi_\nu(x)\\ \varphi_0'(x) & \varphi_1'(x)&\ldots&\varphi_\nu'(x)\\ \hdotsfor4\\ \varphi_0^{(\nu)}(x) & \varphi_1^{(\nu)}(x)&\ldots&\varphi_\nu^{(\nu)}(x)\\ \end{matrix}\right|\quad (\nu=0,1,2,\ldots,n); \] dabei ist \(\varDelta_0=\varphi_0(x)\) zu setzen. Dann gilt der Satz: ``Falls keine der \(n\) Determinanten \(\varDelta_0\), \(\varDelta_1,\ldots\), \(\varDelta_n\) für Punkte des Intervalls \((a\ldots b)\) verschwindet, kann die mit den reellen Koeffizienten \(c_0\), \(c_1,\ldots\), \(c_n\) gebildete Linearform \[ c_0\varphi_0(x)+c_1\varphi_1(x)+\cdots+c_n\varphi_n(x) \] im Intervall \((a\ldots b)\) nur dann mehr als \(n\) Nullpunkte haben, wenn alle \(c_0\), \(c_1,\ldots\), \(c_n\) verschwinden.'' Bezeichnet man unter denselben Voraussetzungen mit \(H(\varphi_0,\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\) die größte Anzahl von Nullpunkten, die eine mit Hülfe reeller Koeffizienten aus den \(\varphi_0,\varphi_1,\ldots,\varphi_n\) gebildete, nicht identisch verschwindende Linearform im Intervall \((a\ldots b)\) haben kann, so ist unter der Bedingung, daß keine der Determinanten \(\varDelta_0\), \(\varDelta_1,\ldots\), \(\varDelta_{n-1}\) für Punkte des Intervalls \((a\ldots b)\) verschwindet: \(n\leqq H(\varphi_0,\varphi_1,\ldots,\varphi_n)\leqq n+N\), wo \(N\) die Anzahl der Nullpunkte der Funktion \(\varDelta_n\) im Intervall \((a\ldots b)\) bedeutet. Wenn die angegebenen Bedingungen nicht erfüllt sind, so wird es, wie der Verf. bemerkt, manchmal möglich sein, durch Änderung der Reihenfolge der Funktionen \(\varphi_0(x)\), \(\varphi_1(x),\ldots\), \(\varphi_n(x)\) und durch lineare Transformation ein Funktionensystem zu gewinnen, für das die aufgestellten Bedingungen erfüllt sind. Es ist jedoch nicht ausgeschlossen, daß es Systeme von Funktionen gibt, für die das nicht möglich ist, für die aber trotzdem \(H(\varphi_0,\varphi_1,\ldots,\varphi_n)=n\) ist; denn das Kriterium liefert nur hinreichende, nicht notwendige Bedingungen.