Die Grenzkreis-Uniformisierung analytischer Gebilde. (Q1482221)

``Seitdem durch die Untersuchungen von \textit{H. Poincaré} (1907) und \textit{P. Koebe} (1907) die Uniformisierbarkeit beliebiger analytischer Funktionen mit Hülfe von Grenzkreisfunktionen endgültig feststeht, sind von verschiedenen Seiten und nach verschiedenen Prinzipien mehrere Beweise des genannten Theorems bekannt geworden. Der einfachste und naturgemäßeste aller dieser Beweise ist der erste von \textit{P. Koebe} gegebene.'' Der Beweis, den der Verf. für das Uniformisierungstheorem mitteilt, liegt in engem Anschluß an den ersten Beweis von \textit{P. Koebe}; er erzielt aber diesem gegenüber gewisse beachtenswerte Vereinfachungen. Von der durchzuführenden Alternative, ob die uniforrnisierende Variable einen endlichen Kreis (1. Fall) oder die ganze Ebene (2. Fall) ausfüllt, erledigt den ersten Fall eine einfache Anwendung des \textit{Poisson}schen Integrals. Auch für den zweiten Fall erzielt der Verf. eine Reduktion, indem er die Konvergenz einer direkt aus den \textit{Green}schen Funktionen hergeleiteten Funktionenfolge zeigt, und zwar mit Hülfe eines Potenzreihensatzes, der von \textit{Koebe} herrührt und überhaupt bei Uniformisierungsfragen eine zentrale Bolle einnimmt. Die erwähnte Funktionenfolge wird von den Funktionen \(z_n = e^{-(u_n+iv_n)+c_n}\) gebildet, unter \(u_n\) die \textit{Green}sche Funktion des \(n\)-ten Näherungsbereichs verstanden, unter \(c_n\) das konstante Glied in der Entwicklung desselben an der Unendlichkeitsstelle. Die Konvergenz dieser Funktionenfolge wird übrigens auch von \textit{Koebe} selbst am Schlüsse seiner Arbeit in den Gött. Nachr. 1907 festgestellt. \textit{Plemelj}s Beweis verdient jedoch ein besonderes Interesse.