Begründung der Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung und Uniformisierung. (Voranzeige.) (Q1482223)

``In der vorliegenden Note gebe ich wesentlich Gedanken wieder, welche ich gelegentlich der Naturforscherversammlung in Karlsruhe (Sept. 1911) mitgeteilt habe. Es handelt sich um eine erstmalige, durchgreifende Begründung der von \textit{Klein} und \textit{Poincaré} angewandten Kontinuitätsmethode im Gebiete der konformen Abbildung und Uniformisierung. Diese Begründung erstreckt sich auf alle von mir in den Abhandlungen über Uniformisierung der algebraischen Kurven I, II, III (Math. Ann. 67, 69, 72, Jahrg. 1909, 1910, 1912) bereits auf anderem Wege, nämlich mit Hülfe der Methode der Überlagerungsfläche und des iterierenden Verfahrens als existierend nachgewiesenen Uniformisierungstranszendenten, durch welche alle von \textit{Klein} in der Abhandlung ``Neue Beiträge zur \textit{Riemann}schen Funktionentheorie (Math. Ann. 21, 1883) in den sogenannten ``Fundamentaltheoremen'' definierten Größen umfaßt werden. Sie erstreckt sich jedoch durch die ihr eigentümliche Tragweite auch auf mannigfaltige andere Probleme der konformen Abbildung. Als charakteristischer Zug dieser meiner Begründung ist neben einer gewissen engeren Bezugnahme zu \textit{Klein} überhaupt ganz besonders die Abwendung von \textit{Poincaré}s Theorie der ``polygones limites'' (Acta Math. 4, 250-276; s. auch die kritischen Bemerkungen \textit{Poincaré}s S. 235, 236) hervorzuheben, welche seither als wesentlicher Bestandteil eines Kontinuitätsbeweises überhaupt gegolten hat (\textit{Klein, Ritter, Schlesinger, Fricke, Brouwer}) und dadurch die allgemeineren Uniformisierungstheoreme (imaginäre Substitutionen) von der Kontinuitätsmethode überhaupt oder doch noch auf lange Zeit auszuschließen schien''. ``Um für diese vorläufige kurze Mitteilung eine Abgrenzung zu haben, beschränke ich mich auf den Fall des Problems der Uniformisierung einer algebraischen Kurve \((x, y)\) vom Geschlecht \(p\) durch automorphe Funktionen des \textit{Schottky}schen Typus''. ``Kennzeichnung der Hauptbeweispunkte: 1. Zugrundelegung eines \((6p - 6)\)-dimensionalen vollständigen Kontinuums \(C_1\) im Gebiete aller Fundamentalbereiche des \textit{Schottky}schen Typus, von welch letzteren zunächst nicht feststeht, ob dieselben ein einziges Kontinuum bilden. 2. Die mit \(p\) Rückkehrschnitten kanonisch aufgeschnittenen \textit{Riemann}schen Flächen vom Geschlecht \(p\) lassen sich als ein einziges \((6p - 6)\)-dimensionales Kontinuum \(C_2\) charakterisieren. 3. Der Unitätssatz, nach welchem einem Element in \(C_1\) nicht mehr als ein Element in \(C_2\) entsprechen kann. 4. Dem Gebiete \(C_1\) entspricht in \(C_2\) vermöge eineindeutig stetiger Abbildung ein Teilkontinuum \(C_3\). 5. Das Teilkontinuum \(C_3\) ist ebenfalls \((6p - 6)\)-dimensional. 6. Das Kontinuum \(C_3\) erfüllt das Kontinuum \(C_2\) vollständig. 7. Die Fundamentalbereiche des \textit{Schottky}schen Typus bilden ein einziges Kontinuum''.