Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. III. (Q1482225)

``In der vorliegenden Abhandlung bestimme ich alle diejenigen uniformisierenden Variabeln zu einem gegebenen algebraischen Gebilde \((x, y)\), deren Fundamentalbereich (allgemeiner kanonischer Fundamentalbereich) durch Komposition aus solchen Fundamentalbereichen (primitiven kanonischen Fundamentalbereichen) entsteht, die, für sich genommen, bei der Reproduktion nur zur Bedeckung eines endlich-vielfach zusammenhängenden Teiles der Ebene führen, der dann von selbst stets entweder einfach zusammenhängend ist und dann in bezug auf seine Begrenzung (entsprechend dem \textit{Klein-Poincaré}schen Grenzkreistheorem) kreisförmig normiert wird, oder zweifach zusammenhängend, in welchem Falle er nur von zwei Punkten begrenzt sein kann. Ich bezeichne dieselben als die allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variabeln im Gegensatz zu den primitiven kanonischen uniformisierenden Variabeln, deren Fundamentalbereich eben ein primitiver kanonischer Fundamentalbereich ist. Diese allgemeinen, hier zum ersten Male als existierend (Existenzbeweis) und als einzig in ihrer Art (Unitätsbeweis) nachgewiesenen uniformisierenden Variabeln sind wesentlich diejenigen, und zwar die allgemeinsten, deren Existenz und Unität von \textit{Klein} in seiner Abhandlung ``Neue Beiträge zur \textit{Riemann}schen Funktionentheorie'' (Math. Ann. 21, 1883) in den sogenannten ``Fundamentaltheoremen'' behauptet worden ist. Durch die Bezeichnung ``kanonische uniformisierende Variable'' soll einerseits an die der Bestimmung der einzelnen Größe zugrundeliegende kanonische Aufschneidung der \textit{Riemann}schen Fläche \(F\), andererseits aber an den sogleich zu erwähnenden ``Kanon'' erinnert werden, welchen diese Größen vermöge der Stufenfolge der kanonischen Aufschneidung bilden. Um eine einzelne solche Größe, die relativ unverzweigt sein möge, näher zu charakterisieren, hat man sich die \textit{Riemann}sche Fläche \(F\) der algebraischen Funktion \(y(x)\) zu einer schlichtartigen Fläche aufgeschnitten zu denken, ein Prozeß, zu dessen Hauptmöglichkeiten man schrittweise geführt wird, indem man die Fläche zunächst längs \(p\) getrennter Rückkehrschnitte aufschneidet, darauf einen Rückkehrschnitt nach dem ändern zu einem Rückkehrschnittpaar erweitert, dann wieder diese Paare durch Deformation zu Gruppen mit je einem gemeinschaftlichen Kreuzungspunkt zusammenfaßt, schließlich alle Paare in eine einzige Gruppe mit nur einem Kreuzungspunkte vereinigt. Bei den relativ verzweigten Größen treten zu den Rückkehrschnitten noch Einschnitte nach den relativen Verzweigungspunkten hinzu. Insofern sich nun zu jeder der erwähnten Aufschneidungen eine in der aufgeschnittenen Fläche \(F\) eindeutige uniformisierende Variable aufstellen läßt, erhalten wir einen Kanon der Fundamentaltheoreme, dessen erstes Glied das Theorem von der Uniformisierung durch automorphe Funktionen des \textit{Schottky}schen Typus (loxodromische erzeugende Substitutionen), dessen letztes Glied das Theorem von der Grenzkreisuniformisierung (hyperbolische Erzeugende) bildet, während in der Mitte das der Aufschneidung mit \(p\) getrennten Rückkehrschnittpaaren entsprechende Uniformisierungstheorem (parabolische Erzeugende) steht. Von den Theoremen dieser Kette sind diejenigen vom ersten bis zum mittleren, sowie das letzte bereits durch meine Abhandlungen ``U. d. a. K. I. und II.'' erledigt, doch komme ich auf dieselben hier in neuer Weise zurück; bei den übrigen, bisher unerledigt gebliebenen Theoremen handelt es sich um automorphe Funktionen mit unendlich vielen Grenzkreisen. Zu einer einzelnen allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variable gehört ein Fundamentalbereich \(\varPhi_0\), eine Gruppe linearer Substitutionen \(G\), ein Wertegebiet \(T\), welch letzteres von den vermittels der Gruppe \(G\) aus \(\varPhi_0\) entstehenden \(\varPhi_0\)-Bildern gebildet wird. Das Wertegebiet \(T\) besitzt im allgemeinsten Falle unendlich viele Grenzkreise (nicht nur Grenzpunkte). Indem man \(T\) an diesen Grenzkreisen spiegelt, entstehen neue Grenzkreise, an denen wieder gespiegelt werden kann. Dadurch gelangt man mit \textit{Klein} (Math. Ann. 21, 211) zu dem erweiterten Wertegebiet \(\tilde T\), welches aus \(\varPhi_0\) durch Ausübung einer von uns mit \(\tilde G\) bezeichneten Gruppe teils eigentlicher, teils uneigentlicher linearer Substitutionen (direkter und indirekter Kreisverwandtschaften) gewonnen wird. Das Gebiet \(\tilde T\) zusammen mit seinen Grenzpunkten und Grenzkreisen liefert die volle Ebene. Es handelt sich nun nach der Begriffsbestimmung der allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variabeln (erster Teil) zunächst um den Beweis des Unitätssatzes (zweiter Teil), welcher besagt, daß nach Angabe der die formale gruppentheoretische Struktur des Fundamentalbereiches \(\varPhi_0\) bestimmenden Stücke (charakteristische Signatur) es, abgesehen von einer linearen Substitution, nicht mehr als eine uniformisierende Variable geben kann. Sind \(t\) und \(\bar t\) zwei angenommene uniformisierende Variabeln derselben charakteristischen Signatur, so erhält man mit \textit{Klein} (l. c.) eine Abbildung des Gebietes \(\tilde{T}\) auf das entsprechende Gebiet \(\tilde{\bar T}\) in der \(\bar t\)-Ebene, eine Abbildung, von welcher zu zeigen ist, daß sie linear ist. Die Schwierigkeit dieses Nachweises konzentriert sich auf die Überwindung der unendlich vielen Grenzpunkte und Grenzkreise, welche in der Auffassung überall singulären Charakter darbieten. Der Nachweis gelingt mir unter speziellem Eingehen auf die Struktur der Gruppe \(\tilde G\) (\(\tilde U\)-Prozeß) mit Hülfe des \textit{Cauchy}schen Integrales, das dabei fortgesetzt für unendlich-vielfach zusammenhängende, durch den \(\tilde U\)-Prozeß gelieferte Bereiche zur Anwendung gelangt. Die erforderlichen Abschätzungen ergeben sich durch ausgiebigen Gebrauch des Verzerrungssatzes der linearen Funktionen. Insbesondere sei erwähnt, daß in einem unten genauer zu definierenden Sinne der Inhalt der Begrenzungsmannigfaltigkeit des Gebiets \(\tilde T\) sich gleich Null herausstellt. Der Existenzbeweis der allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variabeln (dritter Teil) schließlich gelingt uns durch das iterierende Verfahren, welches in einer unendlich oft wiederholten Anwendung der Bestimmung einer primitiven kanonischen uniformisierenden Variable besteht, für deren Existenz wir uns auf die Methode der Überlagerungsfläche berufen. Das iterierende Verfahren konvergiert wie eine geometrische Reihe. Bemerkenswert ist für den Konvergenzbeweis der eigentümliche durchgängige Parallelismus, welchen derselbe mit dem Unitätsbeweise hat. Jetzt ist es der Verzerrungssatz der analytischen Funktionen, welcher an Stelle des Verzerrungssatzes der linearen Funktion die Abschätzungen zu machen gestattet. Gewisse Fälle gestatteten, außer der Behandlung mittels des iterierenden Verfahrens, noch eine Behandlung als Grenzfälle. Eine Skizze der in der vorliegenden Abhandlung zur ausführlichen Darstellung gelangten Untersuchung habe ich in einer Note ``Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven durch automorphe Funktionen mit imaginärer Substitutionsgruppe. (Fortsetzung und Schluß)'' in den Göttinger Nachrichten (1910) veröffentlicht''. \textit{Disposition}: \textit{Erster Teil}: Begriff der allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variabeln. Formulierung der Fundamentaltheoreme. \textit{Zweiter Teil}: Der Unitätsbeweis der allgemeinen kanonischen uniformisierenden Variabeln. \textit{Dritter Teil}: Der Existenzbeweis der allgemeinen kanonischen Variabeln. Das iterierende Verfahren.