Untersuchungen über die konformen Abbildungen von festen und veränderlichen Gebieten. (Q1482226)

Es seien \(G_1\), \(G_2,\ldots\) eine Folge von unendlich vielen schlichten Gebieten, die einer \(u\)-Ebene angehören und alle den Punkt \(u=0\) im Innern enthalten und (um nur den einfachsten Fall zu erwähnen) sämtlich im Innern des Kreises \(|u|<M\) liegen. Es sei \(f_n(z)\) die analytische Funktion, welche das Gebiet \(G_n\) auf den Einheitskreis \(|z|<1\) derart konform abbildet, daß die Punkte \(z=0\) und \(u=0\) und in diesen die positiven Richtungen der reellen Achse einander entsprechen. Alsdann werden vom Verf. notwendige und hinreichende Bedingungen über die Gebiete \(G_n\) aufgestellt für die gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge \(f_n(z)\) gegen eine Grenzfunktion, welche ihrerseits die konforme Abbildung eines gewissen Grenzgebietes \(G\) auf das Innere des Einheitskreises vermittelt. Diese notwendigen und hinreichenden Bedingungen bestehen wesentlich in einer präzis zu definierenden, sozusagen Konvergenz der Gebietsfolge \(G_n\) selbst gegen das Grenzgebiet \(G\) (``Kern der Gebietsfolge''). Als Hülfsmittel beim Beweise spielt ein \textit{Schwarz}sches Lemma und Folgerungen aus demselben eine Rolle; doch ist inzwischen von anderer Seite (vgl. \textit{Bieberbach} in Gött. Nachr. 1913, 552-560, und \textit{Koebe} in Leipz. Ber. 1914) darauf hingewiesen worden, daß diese Entwicklungen tatsächlich bei zweckmäßiger Darstellung des Beweises überflüssig sind, und daß dann auch der Satz selbst ohne weiteres eine Ausdehnung auf allgemeinere, insbesondere auf mehrfach zusammenhängende Bereiche erfährt. Ein anderes Haupthülfsmittel ist das zuerst von \textit{Koebe} für die Theorie der konformen Abbildung in analogem Sinne fruktifizierte Verdichtungsprinzip der analytischen Funktionen, demzufolge aus jeder unendlichen Folge beschränkter analytischer Funktionen eine gleichmäßig konvergente Teilfolge ausgewählt werden kann. Bemerkenswert ist dann namentlich die Anwendung, welche der Verf. von dem erwähnten Kernsatz macht, um die konforme Abbildung eines schlichten, einfach zusammenhängenden Bereichs auf das Innere des Einheitskreises neu darzutun. Die dabei in Betracht kommenden Näherungsfunktionen werden mittels Quadratwurzeloperationen gebildet.