Über elliptisch-hyperelliptische Funktionen. (Q1482267)

Man kann den hyperelliptischen Fall \(y^2=R(x)\) als den Fall der in den \(2p+2\) Nullpunkten von \(R(x)\) verzweigten Doppelüberdeckung einer rationalen Kurve bezeichnen und als naheliegende Verallgemeinerung den analogen Fall betrachten, bei welchem der Träger eine Kurve vom Geschlecht \(p>0\) ist; es entstehen so die Symmetralfunktionen \textit{Schottkys} (F. d. M. 22, 496 (JFM 22.0496.*), 1890) und als deren einfachster Fall \(p=1\) die elliptisch-hyperelliptischen Funktionen (F. d. M. 23, 486 (JFM 23.0486.*), 1891). In einem ersten Paragraphen wird dem geometrischen Ausgangspunkte des elliptisch-hyperelliptischen Falles mit sechs Verzweigungspunkten eine genauere Erörterung gewidmet und gezeigt, daß man dieses elliptisch-hyperelliptische Gebilde in zwei verschiedenen Fassungen erhalten kann, einmal als doppelüberdeckte \textit{Steiner}sche Kurve der \(C^{(1)}_3\) mit Verzweigungspunkten in den Punkten, in denen die Doppeltangentenpaare des \textit{Steiner}schen Systems der ebenen \(C_4\) sich schneiden, das andere Mal als doppeltüberdeckte \textit{Hesse}sche Kurve der \(C^{(1)}_3\) mit Verzweigungspunkten in den Polen der Doppeltangentenpaare. In \S\ 2 wird gezeigt, wie der elliptisch-hyperelliptische Fall mit sechs Verzweigungspunkten sich darstellt als ein durch zwei gleich Null gesetzte Thetafunktionen von drei Veränderlichen definiertes eindimensionales algebraisches Gebilde, und es wird auf die in der Literatur vorhandenen Anknüpfungspunkte hingewiesen. \textit{Humbert} (F. d. M. 26, 518 (JFM 26.0518.*), 1895) setzt ein \(\vartheta_1\) gleich Null; wählt man dann vier linearunabhängige ungerade Thetafunktionen zweiter Ordnung mit der Charakteristik (12) als homogene Punktkoordinaten eines \(R_3\), so wird dadurch eine Fläche \(H_2^6\) definiert mit 16 Doppelpunkten, welche genau die Konfiguration der Knotenpunkte der \textit{Kummer}schen Fläche besitzen; \textit{Schottky} (F. d. M. 21, 502 (JFM 21.0502.*), 1889) setzt \(\vartheta_0=0\) und betrachtet vier linearunabhängige Thetafunktionen vierter Ordnung mit der Charakteristik (0); dadurch wird eine Fläche \(S_2^6\) definiert, die ein gewisses Analogon zur \textit{Weddle}schen Kegelspitzenfläche ist. Durch Nullsetzen eines weiteren \(\vartheta\) erhält man auf der \(H_2^6\) und ebenso auf der \(S_2^6\) elliptische Kurven, ebene \(C_3\) oder Raumkurven vierter Ordnung, alle verzweigt doppelt überdeckt und damit elliptisch-hyperelliptische Gebilde. Im allgemeinen Falle nimmt der Verf. die elliptische Normalkurve \(C_n\) des \(R_{n-1}\) und überdeckt sie doppelt mit \(2n\) Verzweigungspunkten, die auf der \(C_n\) ausgeschnitten werden durch eine (\(C_n\) nicht ganz enthaltende) nicht zerfallende \(M^2_{n-2} K(x) = 0\). Das so entstehende Gebilde hat das Geschlecht \(n+1\). Das elliptische Integral \(u\) und \(n\) Integrale von der Form \(u_i=\int\dfrac{R^{(i)}(x)}{K\sqrt{(x)}}dx\), wo \(R^{(i)}(x)\) unabhängige Linearformen der \(x\) sind, bilden ein System von \(n+1\) unabhängigen Integralen erster Gattung. Als \textit{Riemann}sche Fläche \(F_1\) legt der Verf. zwei Torusse zugrunde, die durch \(2n\) Verzweigungspunkte zusammenhängen und eine \((2n+3)\)-fach zusammenhängende Fläche bilden, welche, nachdem zwei Querschnittpaare zur Zerschneidung der besten Torusse angebracht sind, nun genau wie eine zweiblättrige Fläche vom Geschlecht \(n-1\) durch \(n-2\) weitere Querschnitte in eine einfach zusammenhängende Fläche verwandelt wird. Die Periodizitätsmoduln der \(n+1\) Integrale erster Gattung an den \(2n+2\) Querschnitten geben nach einer passenden Normierung außer einem elliptischen \(\vartheta\) noch Anlaß zur Bildung von Thetafunktionen von \(n\) Veränderlichen \(\varphi((v))\). Aber diese Funktionen haben die Eigentümlichkeit, daß auf \(F_1\) Perioden der \(v\) existieren, die bloß halbe Perioden der \(\varphi\) sind; dies veranlaßt den Verf. zu einer nochmaligen unverzweigten Doppelüberdeckung von \(F_1\) und so zur Bildung einer aus vier Torussen bestehenden \textit{Riemann}schen Fläche vom Geschlecht \(2n+1\). Zu den früheren \(n+1\) Integralen treten noch \(n\) weitere von der Form \(w_i=\int\dfrac{\sqrt{\varPhi^{(i)}(x)}}{\sqrt{K(x)}}dx\) (\(i=1,2,\ldots,n\)), wo die Zähler Wurzelformen zweiter Stufe und zweiten Grades der \(x\) sind, und diese geben wieder Anlaß zur Bildung von Thetafunktionen von \(n\) Veränderlichen \(\psi((w))\), welche den \(\varphi\) vollkommen gleichberechtigt sind. Diese \(\psi\) gehören aber auch zu jener Klasse von Funktionen, die \textit{Wirtinger} (F. d. M. 26, 514 (JFM 26.0514.*), 1895) im zweiten Teile seiner Festschrift studiert; dadurch wird es dem Verf. möglich, die von \textit{Wirtinger} ausgebildeten und erweiterten \textit{Riemann}schen Methoden auf den elliptisch-hyperelliptischen Fall anzuwenden. Dies geschieht in dem nun folgenden Teile der Abhandlung, welcher dem genauen Studium der Zahl und der Lage der Nullstellen der Funktionen \(\varphi\) und \(\psi\), sowie dem ihres identischen Verschwindens gewidmet ist.