On the summability of series of \textit{Legendre}'s functions. (Q1482278)

Anknüpfend an die Arbeiten von \textit{Hobson} und \textit{Fejér} (vgl. F. d. M. 40, 496 (JFM 40.0496.*) und 499, 1909), sowie gestützt auf seine eignen allgemeinen Untersuchungen über die Summierbarkeit von Reihen (vgl. F. d. M. 42, 270 (JFM 42.0270.*), 1911), sucht der Verf. die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Summierbarkeit der Kugelfunktionenreihe \[ \sum_{n=0}^\infty\frac{2n+1}2P_n(x)\int\limits_{-1}^{+1}f(y)P_n(y)dy \tag{1} \] zu ermitteln. Durch eine von der \textit{Fejér}schen etwas verschiedene Methode gelingt es ihm, einige unnötige Beschränkungen in den von diesem aufgestellten Sätzen zu beseitigen, sowie verschiedene neue Sätze abzuleiten. In diesen Sätzen spielen die \textit{Cesàro}schen Summen von nicht ganzzahliger Ordnung eine wichtige Rolle, eine Erweiterung des ursprünglichen \textit{Cesàro}schen Begriffs, die der Verf. neben anderen Forschern, aber unabhängig von ihnen früher entwickelt hatte (vgl. die oben zitierten Arbeiten aus dem Jahre 1911). Zur kürzeren Darstellung der Resultate wird die \textit{Hardy}sche Bezeichnung \([C, k = m]\) und \([C, k > m]\) benutzt, wodurch ausgedrückt werden soll, daß die in Rede stehende Reihe summierbar ist durch Bildung der \textit{Cesàro}schen Summen der Ordnung \(m\) oder einer Ordnung größer als \(m\). Die Hauptergebnisse sind folgende: a) Die Reihe (1) ist summierbar \((C, k>1]\) ohne jede Einschränkung, die Summe ist \(\frac12[f(x+0) + f(x- 0])\) für jeden Punkt im Innern des Intervalls \((- 1, + 1)\), während für die Endpunkte die Summe \(f(1 - 0)\), resp. \(f (- 1 + 0)\) ist. Die Summierbarkeit ist gleichförmig in jedem Intervall, in dem \(f(x)\) kontinuierlich ist. Für innere Punkte ist nach \textit{Haar} (vgl. F. d. M. 42, 485 (JFM 42.0485.*), 1911) die Reihe sogar für \([C, k = 1]\) summierbar; aber das Verhalten der Summe für die Endpunkte bleibt bei \textit{Haar} unentschieden. b) Für innere Punkte ist die Reihe summierbar \([C, k>\frac12]\), wenn \(f(x)\) in der Nachbarschaft von \(x^2\) beschränkte Schwankung besitzt. c) Für die Endpunkte gilt das gleiche, nur muß die vorstehende Bedingung für beide Endpunkte erfüllt sein. d) Für innere Punkte, in deren Umgebung \(f(x)\) beschränkte Schwankung besitzt, ist die Reihe summierbar \([C, k > s]\), wo \(0<s<\frac12\), falls nur die Funktion \((1-x^2)^{\frac12s+\frac34}f(x)\) in der Nähe der Endpunkte beschränkte Schwankung besitzt. e) An den Endpunkten ist die Reihe summierbar \([C,k>s]\), wo \(0\leqq s<\frac12\), falls \(f(x)\) in dem ganzen Intervall \((-1,+1)\) beschränkte Schwankung besitzt mit Ausnahme einer endlichen Zahl innerer Punkte \(\xi\), für die \(f(x)\) die Form hat \[ \frac1{(x-\xi)^l}+\varphi(x); \] darin hat \(\varphi(x)\) bei \(\xi\) beschränkte Schwankung, und \(l\) ist \(\leqq s+\frac12\) f) Für die Konvergenz \([C, k = 0]\) gelten die von \textit{Hobson} aufgestellten Bedingungen (vgl. die am Anfang des Referats zitierte Arbeit).