Funzioni ipersferiche poliarmoniche ad una variabile. (Q1482280)

Beachtet man, daß \(f=r^n P_n (\cos \vartheta)\) eine in bezug auf eine Achse symmetrische Lösung der \textit{Laplace}schen Gleichung \(\varDelta f = 0\) im dreidimensionalen Raume darstellt, so ergeben sich naturgemäße Verallgemeinerungen von \(P_n(x)\) dadurch, daß man entweder die Zahl der Dimensionen des Raumes vermehrt, oder daß man an Stelle von \(\varDelta f = 0\) die Gleichung \(\varDelta^q f = 0\) setzt, wo \(\varDelta^q\) die \(q\)-fache Wiederholung des \textit{Laplace}schen Operators bezeichnet. Im vorliegenden Aufsatz werden nun die Funktionen untersucht, die entstehen, wenn man beide Verallgemeinerungen gleichzeitig ins Auge faßt. Der Verf. nennt diese Funktionen hypersphärisch und polyharmonisch und bezeichnet sie mit \(X^q_{N,n}\), wobei \(n\), wie bei einfachen Kugelfunktionen, die Ordnung bezeichnet, \(N\) die Zahl der Dimensionen, \(q\) den Index der Harmonizität, d. h., daß die Funktion \(q\)-fach harmonisch ist. Was \textit{Heine} (Handbuch 2. Aufl., I, S. 454) bei Behandlung des Falls \(q=1\), \(N\) beliebig bemerkt, gilt auch hier, daß nämlich bei Übertragung der Eigenschaften von \(P_n\) auf die verallgemeinerten Funktionen theoretische Schwierigkeiten nicht zu überwinden sind. Immerhin sind einige der entwickelten Resultate nicht ohne Interesse. \(X^q_{N,n}\) ist eine ganze Funktion der Ordnung \(n\), die der Differentialgleichung \[ (1-x^2)\frac{d^2f}{dx^2}-(N+1-2q)x\frac{df}{dx}+n(N+n-2q)f=0 \] genügt (die hieraus für \(x = \cos y\) folgende Differentialgleichung auf Seite 11 enthält im Druck zwei Fehler). Ferner ist \(X^q_{N,n}\) der Koeffizient von \(\alpha^n\) in der Entwicklung von \((1-2\alpha x+\alpha^2)^{\frac12(2q-N)}\), und die neue Funktion läßt sich als \((N - 2q + n - 1)\)-ter Differentialquotient von \((x^2-1)^{\frac{N-2q+2n-1}2}\) darstellen. Für \(N = 2q\) verschwindet der konstante Faktor von \(X^q_{N,n}\); \(X_0=1\) ist dann die einzige \(q\)-fach harmonische hypersphärische Funktion. Ist \(N\) gerade und \(< 2q\), so ist die Zahl der möglichen Funktionen eine endliche. Ist \(N = 2q+1\), so geht \(X^q_{N,n}\) in die einfache Kugelfunktion \(P_n (x)\) über. Dieser Satz gibt Anlaß, auch negative Werte von \(q\) zu betrachten, indem \(X^{-q}_{N,n}\) definiert wird als \(= X^1_{N+2q+2, n}\). Von weiteren Eigenschaften seien folgende erwähnt. Die Funktion von der Ordnung \(n\) und dem Index \(q=2p+1\) ist gleich dem mit einem konstanten Faktor multiplizierten \(p\)-ten Diffentialquotienten der analogen Funktion mit dem Index 1, deren Ordnung \(n+p\) ist. Jede hypersphärische polyharmonische Funktion läßt sich als Summe von Produkten einfacher Kugelfunktionen darstellen. Endlich existiert für diese Funktionen eine Reihe von Rekursionsformeln. Die über Erweiterungen der Kugelfunktionen bereits vorhandene Literatur ist vom Verf. nicht berücksichtigt. Daß die Erweiterung auf beliebige \(N\) (für \(q=1\)) schon in der zweiten Auflage von \textit{Heines} Handbuch (Teil I, 1878) ausführlich behandelt ist, ist dem Verf. entgangen. Die Arbeiten von \textit{Gegenbauer} und die weitergehenden Verallgemeinerungen von \textit{Nielsen} werden mit keinem Worte erwähnt.