Sur un cas particulier des séries \textit{Neumann}iennes des fonctions ultrasphériques. (Q1482283)

In seiner Monographie über die metasphärischen Funktionen (vgl. F. d. M. 42, 484 (JFM 42.0484.*), 1911) hatte der Verf. unter anderem gezeigt, daß sich jede reguläre analytische Funktion \(f(x)\) innerhalb einer gewissen Ellipse in eine Reihe der Form \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(\nu+n)A_nP^{\nu,n}(x) \] entwickeln läßt, worin die ultrasphärische Funktion \(P^{\nu,n}(x)\) den Koeffizienten von \(\alpha^n\) in der Entwicklung von \((1-2\alpha x+\alpha^2)^{-\nu}\) bezeichnet. Man kann nun, wie in dem vorliegenden Aufsatz gezeigt wird, die Entwicklung auch auf den Fall \(\nu=0\) ausdehnen, falls man nur \(P^{\nu,n}(x)\) ersetzt durch \[ \varPhi_n(2x)=n\lim_{\nu=0}[\varGamma(\nu)P^{\nu,n}(x)]\qquad (n\geqq 1), \] während \(\varPhi_0(2x)=2\) gesetzt wird. So ergibt sich der Satz, daß jede innerhalb einer gewissen Ellipse reguläre Funktion \(f(x)\) sich in diesem Bereiche in eine Reihe der Form \[ f(x) = \tfrac12 A_0\varPhi_0(2x)+\sum_{n=1}^{\infty}A_n\varPhi_n(2x) \] entwickeln läßt, wo \[ A_n=\frac1{2\pi}\int\limits_{-1}^{+1} \frac{f(x)\varPhi_n(2x)dx}{\sqrt{1-x^2}} \] ist. Hieraus folgt eine Entwicklung von \(\varphi(x) = 2f(\cos x)\) in eine \textit{Fourier}sche Reihe, da \(\varPhi_n(2\cos\varphi)= 2\cos n\varphi\) ist. Weitere Resultate betreffen Entwicklungen, die nach Funktionen \(\varPsi_n(x)\)fortschreiten, wo \[ \varPsi_n(x)=\frac{(-1)^n}{2^{2n}}\varPhi_{2n}(ix) \] ist, ferner Reihen, die sich zusammensetzen aus einer Reihe, die nach den Quadraten von \(\varPsi_n(x)\), und einer, die nach den Produkten \(\varPsi_n(x)\varPsi_{n+1}(x)\) fortschreitet.