Contribution à la géométrie des courbes convexes et de certaines courbes qui en dérivent. (Q1482606)

Als Kurven vom Typus \(\varPi\) (in der Ebene), kürzer ``Ovale'', werden solche bezeichnet, an die in jeder Richtung zwei reelle bestimmte Tangenten, je mit bestimmtem Berührungspunkte gehen. Ovale haben keinen Wendepunkt. Zu ihrer Darstellung werden geeignete Polarkoordinaten für eine Gerade \(g\) verwendet: \(\alpha\) als Winkel der positiv genommenen \(g\) mit der positiven Polachse und \(p\) als mit geeignetem Vorzeichen zu nehmender Abstand zwischen \(g\) und dem Pol. Soll dann \(p = p(\alpha)\) ein Oval darstellen, so muß \(p\) eine eindeutige und stetige Funktion von \(\alpha\) sein, ferner müssen \(p\) und \(p' = \frac{dp}{d\alpha}\) für alle Werte von \(\alpha\) existieren, endlich \(p\) eine periodische Funktion von \(\alpha\) mit der Periode \(2\pi\) sein. Der mit geeignetem Vorzeichen zu nehmende, einer Geraden \(g\) entsprechende Krümmungsradius \(\varrho\) bestimmt sich durch \(\varrho = p+p''\), wo \(p'' = \frac{d^2p}{d\alpha^2}\). Soll das Oval im besondern eine geschlossene konvexe Kurve sein, so muß \(\varrho\) sein Vorzeichen bewahren, wenn \(\alpha\) von 0 bis \(2\pi\) variiert. Bogenlänge \(L\) und Flächeninhalt \(A\) eines Ovals werden durch die Integrale definiert: \[ L = \int_0^{2\pi} \varrho d\alpha = \int_0^{2\pi} p d\alpha, \;A = \int_0^{2\pi} \varrho p d\alpha; \] sie sind unabhängig von der Lage des Poles und der Polachse. Zwei Tangenten, deren Richtungen sich um \(\pi\) unterscheiden, heißen ``entgegengesetzt'', wie auch ihre Berührungspunkte; der Abstand \(P\) beider Tangenten hat den Wert \(p(\alpha) + p(\alpha+\pi)\). ``Durchmesser'' des Ovals ist der mit geeignetem Vorzeichen zu nehmende Abstand \(D\) zweier entgegengesetzten Punkte; ist \(\tau\) der Winkel zwischen positiver Tangente und positivem Durchmesser, so ist \(P = D \sin\tau\). Man trage von einem Punkte \(M\) des Ovals auf dem positiven Durchmesser eine mit \(D\) proportionale Länge \(\lambda D\) ab, so beschreibt der Endpunkt \(N\), wenn \(M\) variiert, ein Oval mit der Gleichung \(\bar p = p - \lambda P\); die Tangenten in entsprechenden Punkten \(M, N\) beider Ovale sind parallel. Für die Bogenlänge \(\bar L\) des zweiten Ovales ergibt sich \(\bar L = (1 - 2\lambda)L\). In dem Spezialfälle \(\lambda = \tfrac12\) verschwindet nicht nur \(\bar L\), sondern auch, für jeden Wert von \(\alpha\), die Größe \(\bar P\). Diese Kurve heißt ``Mediale'' des Ovals, da sie der Ort der Mittelpunkte der Durchmesser ist. Kurven \(\varPi\) (Ovale) mit der Bedingung \(P \equiv 0\) heißen Kurven vom Typus \(\varPi_0\); ihre Parallelkurven sind Ovale mit konstantem Durchmesser. Die Gleichung der Mediale des Ovals lautet: \(p_1 = \tfrac12\{p(\alpha) - p(\alpha) + \pi)\}\). Die korrespondierende Kurve \(p_2 = \tfrac12\{p(\alpha) + p(\alpha + \pi)\}\) heißt die ``Zentrik'' des Ovals; beide besitzen dieselbe (algebraische) Länge. Die (algebraische) Fläche eines Ovals ist die Summe der (algebraischen) Flächen ihrer Mediale und Zentrik. Sei \(p_1 = p_1(\alpha)\) eine Kurve \(\varPi_0\) und \(p_2 = p_2(\alpha)\) ein zentrisches Oval, so existiert nur ein einziges Oval, für das die beiden gegebenen Kurven die Enveloppe der Durchmesser und Zentrik sind; desgleichen gibt es nur eine einzige Kurve \(p = p_1 + p_2\), deren Mediale und Zentrik die beiden gegebenen sind. Als Beispiel sei erwähnt die Familie der Kurven, deren Zentrik ein Kreis (\(p_2 =\) Konst.) ist, das sind Kurven mit konstanten Durchmessern. Vorstehende interessante Entwicklungen lassen sich auch auf den Raum ausdehnen. Vgl. das folgende Referat.