Contribution à l'étude des courbes convexes fermées. (Q1482607)

In dem Werke wird in einfacher Weise eine ganze Reihe von Eigenschaften hergeleitet für konvexe Kurven und besonders für solche geschlossenen Kurven, deren Tangenten durch Parallelverschiebung sich ein-eindeutig dem ebenen Vollstrahl-, resp. Halbstrahlbüschel zuordnen lassen. Diese letzteren Kurven werden mit \(\varPi_0\), bzw. \(\varPi\) bezeichnet. (Die Kurven \(\varPi_0\) sollen im allgemeinen zweimal durchlaufen werden.) Für diese Kurven wird eine ``algebraische Länge`` definiert durch den Ausdruck \[ \int_0^{2\pi} \varrho d\alpha. \] Hierbei ist \(\alpha\) das Azimut der gerichteten Tangente, \(\varrho\) der mit Vorzeichen versehene Krümmungsradius. Als algebraischer Inhalt wird definiert: \[ \int_0^{2\pi} p\varrho d\alpha, \] wo \(p\) der geeignet mit Vorzeichen versehene Abstand der gerichteten Tangente vom Anfangspunkt des Bezugssystems ist. Für die Kurven \(\varPi_0\) ist die algebraische Länge Null und der algebraische Inhalt negativ, der letztere für konvexe Kurven stets positiv. Die Mitten der Durchmesser (Sehnen mit parallelen Endtangenten) bilden die Mediale. Die Kurve \[ P(\alpha) = \frac12(p(\alpha) + p(\alpha + \pi)) \] heißt die Zentrik. Die algebraische Länge einer Kurve \(\varPi\) ist gleich der ihrer Zentrik, der algebraische Inhalt gleich der Summe der algebraischen Inhalte ihrer Zentrik und ihrer Mediale usw. Von besonderem Interesse sind vielleicht die Bemerkungen über die Kurven konstanter Breite, z. B.: die konvexen Parallelkurven zu den Kurven \(\varPi_0\) sind von konstanter Breite (ein analoger Satz über die konvexen Evolventen von \(\varPi_0\) ist bereits von \textit{Euler} hergeleitet). Vgl. das vorstehende Referat.