Bemerkungen zur Theorie der ebenen Kurven. (Q1482612)

Es sei \(S\) eine geschlossene, doppelpunktlose, rektifizierbare Kurve in de Ebene der Variabeln \(x\) und \(y\). Ihre von einem willkürlichen Anfangspunkte aus gemessene Bogenlänge sei mit \(s\) bezeichnet. Die Gleichungen von \(S\) mögen in der Form \[ x = x(s), y = y(s) \] gegeben sein. Wir nehmen an, daß die Funktionen \(x(s), y(s)\) stetige Ableitungen erster Ordnung haben. Es sei \(P_0\) ein beliebiger Punkt auf \(S\) und \(s_0\) der zugehörige Wert der Bogenlänge. Man kann dann eine von der speziellen Wahl des Punktes \(P_0\) unabhängige positive Zahl \(\delta_0\) angeben, so daß derjenige Teil von \(S\), der im Innern des von dem Kreise \(K_0\) vom Halbmesser \(\delta_0\) um \(P_0\) begrenzten endlichen Gebietes enthalten ist, von jeder Geraden, die zu der Normale an \(S\) in \(P_0\) parallel ist, in einem und nur einem Punkte geschnitten wird. Die Funktionen \(x(s), y(s)\) mögen jetzt stetige Ableitungen zweiter Ordnung haben. Man kann dann eine von der Lage von \(P_0\) auf \(S\) unabhängige positive Zahl \(\varrho_0\) angeben, so daß jeder Kreis \(\mathfrak K\) um \(P_0\) vom Halbmesser \(\varrho\leqq \varrho_0\) die Kurve \(S\) in zwei und nur zwei Punkten schneidet.