Die Anwendung der birationalen Transformationen einer Kurve von höherem Geschlechte in sich auf ein diophantisches Problem. (Q1482642)

Nach den grundlegenden Untersuchungen von \textit{Hilbert-Hurwitz} (F. d. M. 23, 190 (JFM 23.0190.*), 1891) und \textit{Poincaré} (F. d. M. 32, 564 (JFM 32.0564.*), 1901) lassen sich auf einer unikursalen oder bikursalen Kurve mit rationalen Koeffizienten aus einem ``rationalen'' Punkte (d. h. mit rationalen Koordinaten) durch rationale Operationen im allgemeinen unendlich viele weitere rationale Punkte ableiten. Ist aber das Geschlecht \(p\) der Kurve \(>1\), so wird gezeigt, daß aus einem rationalen Punkte im aligemeinen keine weiteren rationalen Punkte, höchstens aber endlich viele hervorgehen. Die eingeschlagene Methode führt von selbst zur Betrachtung und Aufstellung der birationalen Transformationen (mit rationalen Koeffizienten) der Kurve in sich. Die Gleichung der vorgelegten Kurve \(C_n^p\) mit rationalen Koeffizienten, von der Ordnung \(n\) und vom Geschlechte \(p\), sei (1) \(f(x_1,x_2,x_3)=0\), und (\(y\)) bedeute einen rationalen Punkt auf ihr. Zur Ableitung der rationalen Punkte von \(C_n^p\) sind alle ihre birationalen Transformationen mit rationalen Koeffizienten in sich: (2) \(x_i^\prime=g_i(x_1,x_2,x_3)\) zu bestimmen, wo die \(g_i\) als ganze Funktionen annehmbar sind. Nun läßt aber eine \(C_n^p(p>1)\) im allgemeinen keine birationale Transformation in sich zu, und wenn sie eine zuläßt, ist deren Anzahl endlich, höchstens gleich \(84(p-1)\); mithin lassen sich aus einem rationalen Punkte der \(C_n^p\), im allgemeinen keine weiteren ableiten; wenn aber im besonderen, so ist die Anzahl der ableitbaren rationalen Punkte endlich. Behufs Bestimmung der birationalen Transformationen von \(C_n^{(p)}\) in sich wird vorerst die \(C_n^p\) vermöge einer geeigneten birationalen Transformation \(T\) auf eine kanonische Form \(C_m^p\) gebracht, derart, daß beide Kurven gleichviel verschiedene, eindeutig aufeinander beziehbare birationale Transformationen mit rationalen Koeffizienten in sich zulassen. Ist die \(C_n^p(p\geqq 3)\) nicht hyperelliptisch, so wähle man als Normalkurve \(C_m^p\) die \(N_{2p-2}\) im \(R_{p-1}\), die aus der \(C_n^p\) vermöge der Transformation \(\varrho y_i=\varphi_i(x_1,x_2,x_3)\) \((i=1,\dots ,p)\) hervorgeht. Es seien \(F_k(y_1,y_2,\dots ,y_p)=0\,(k=1,\dots ,p-2)\) die Gleichungen der \(N_{2p-2}\). Man hat dann solche linearen Transformationen der \(y_i\) auszuüben, die die \(N_{2p-2}\) in sich überführen. Die so erhaltenen Bedingungsgleichungen werden nach der \textit{Kronecker}schen Methode mit unbestimmten Parametern zusammengefaßt und daraus die Unbekannten eliminiert. Weil es nur endlichviele verschiedene Transformationen der \(N_{2p-2}\) in sich gibt, kann das in Rede stehende Gleichungssystem nur endlichviele wesentlich verschiedene Lösungen besitzen. Die Bestimmung der rationalen Wurzeln läßt sich auf die Aufsuchung der rationalen Wurzeln von Gleichungen mit nur einer Unbekannten und rationalen Koeffizienten zurückführen. Für hyperelliptische Kurven muß man eine andere Normalform wählen, am geeignetsten \(y^2=R(x)\), wo \(R(x)\) eine ganzrationale Funktion des Grades \(2p+1\) oder \(2p+\)2 mit lauter verschiedenen Wurzeln ist. Vermöge einer birationalen Transformation \(x=\dfrac{\varphi_1}{\varphi_2}\), \(y=\dfrac{x_2}{x_3}\) läßt sich in der Tat die \(C_n^p\) zunächst in die Form \(A_0(x)y^2+2A_1(x)y+A_2(x)=0\) überführen. Ist \(A_1^2-A_0A_2=R_0^2R\), wo \(R\) lauter verschiedene Wurzeln hat, so gelangt man mittels der Transformation \(y=\dfrac{A_0y+A_1}{R_0}\), \(\xi=x\) zu der gewünschten Normalform \(\eta^2=R(\xi)\). Von dieser werden wiederum die birationalen Transformationen in sich bestimmt.