Über die äquianharmonische Kovariante zweier Kegelschnitte. (Q1482657)

Die beiden Kegelschnitte seien als Klassengebilde gegeben gedacht, von denen das eine in ein Punktepaar ausarte. Es soll der Ort \(f(x, y)=0\) der Punkte untersucht werden, von denen an die beiden Kegelschnitte zwei Tangentenpaare mit äquianharmonischem Doppelverhältnis gehen. Einige Hülfsbetrachtungen aus dem binären Gebiete werden vorausgeschickt. Es seien gegeben zwei quadratische Gleichungen (I) \(As^2+2Bs+C=0\), (II) \(A's^2+2B's+C'=0\), mit den Wurzeln \(s_1\), \(s_2\); \(s_1^\prime\), \(s_2^\prime\), den Determinanten \(D = AC - B^2\), \(D' = A' C' - B^{\prime 2}\) und der bilinearen Invariante \(H = AC' + CA' - 2BB'\). Dann lautet die Bedingung dafür, daß die beiden Wurzelpaare ein äquianharmonisches Doppelverhältnis bilden: (III) \(12DD'+H^2=0\). Während \(H = 0\) aussagt, daß die beiden Paare \((s_1, s_2)\), \((s_1^\prime, s_2^\prime)\) zueinander harmonisch sind, führt die Forderung, daß \((s_1, s')\), \((s_2, s_2^\prime)\), resp. \((s_1, s_2^\prime)\), \((s_2, s')\) harmonisch sein sollen, zu der Gleichung (IV) \(36DD'-H^2 = 0\). Endlich hat die Resultante \(R\) beider Grundgleichungen den Wert (V) \(H^2 - 4DD'\). Die beiden (vorerst noch allgemeinen) Grundkegelschnitte \(K\), \(K'\) denke man sich in kanonischer Form gegeben durch: \[ \displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill K\equiv\sigma_1u^2+\sigma_2v^2-h=0,\;K'\equiv \sigma_1^\prime u^2+\sigma_2^\prime v^2-h'=0.\hfill} \] Eliminiert man mittels der Gleichung \(ux+vy+1 = 0\) des Punktes \((x, y)\) die Variable \(v\) aus \(K\) und \(K'\), so entstehen die beiden in \(u\) quadratischen Gleichungen \[ \displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill Au^2+2Bu+C=0,\;A'u^2+2B'u+C'=0, \hfill} \] wo \(A\equiv \sigma_2x^2+\sigma_1y^2\), \(B=-\sigma_2x\), \(C=\sigma_2-hy^2\), und analog \(A'\), \(B'\), \(C'\). Auf Grund von (III) ergibt sich als Gleichung der ``äquiharmonischen'' \(C_4\): \[ \multlinegap{0pt} \begin{multlined} \qquad(3)\quad 12\,(h\sigma_2x^2+h\sigma_1y^2-\sigma_1\sigma_2)\,(h'\sigma_2^{\prime}x^2+ h'\sigma'y^2-\sigma_1^\prime\sigma')\\ +\{(h'\sigma_2+h\sigma_2^\prime)x^2+(h'\sigma_1+h\sigma_1^\prime)y^2 - \sigma_1\sigma_2^\prime-\sigma_2\sigma_1^\prime\}^2=0. \end{multlined} \] Verlegt man das Punktepaar, in das jetzt \(K'\) ausarten soll, in die beiden ``Kreispunkte'', so vereinfachen sich die Gleichungen der beiden Grundkegelschnitte zu: \[ \displaylines{\rlap{\qquad(4)} \hfill K\equiv\sigma_1u^2+\sigma_2v^2-1=0,\;K'\equiv u^2+v^2=0, \hfill} \] wo \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) nicht beide negativ sind. Sei \(\sigma_1>0\), und \(\sigma_1>\sigma_2\). Die Gleichung (3) reduziert sich nunmehr auf: \[ \begin{multlined} \quad(5)\quad (x^2+y^2)^2-2(\sigma_1+7\sigma_2)x^2-2(\sigma_2+7\sigma_1)y^2\\ +(\sigma_1+\sigma_2)^2+12\sigma_1\sigma_2=0.\qquad\quad\end{multlined} \] Die \(C_4\) ist also eine bizirkulare. Es werden erst einige besondere Fälle betrachtet. Ist \(K\) ein Kreis \((\sigma_2=\sigma_1)\), so zerfällt die \(C_4\) in zwei konzentrische Kreise. Zweitens sei \(\sigma_2=0\), dann ist \(K\) ein Punktepaar auf der \(x\)-Achse, und die \(C_4\) zerfällt in zwei Kreise, die symmetrisch zur \(x\)-Achse liegen und das Punktepaar \(K\) enthalten. Der Fall \(\sigma_2=-\sigma_1\) führt auf eine \textit{Cassini}sche Kurve. Sodann wird die Bedingung untersucht, unter der die \(C_4\) noch einen dritten Doppelpunkt erhält, nämlich \(\sigma_2=-(2\pm\sqrt3)^2\sigma_1\). Bei positivem Vorzeichen von \(\sqrt 3\) ist die Kurve imaginär, bei negativem hat sie im Ursprung einen ``Wendedoppelpunkt'', d. h. einen Doppelpunkt, dessen (imaginäre) Tangenten zugleich Wendetangenten sind. Durch eine Inversion vom Ursprunge aus geht die Kurve in eine Ellipse über. Die Polargleichung der Kurve lautet einfach \(\varrho^2=\varepsilon^2\cos^2\varphi+ \sin^2\varphi\). Auf die nähere Untersuchung der Kurve, ihre rationale Parameterdarstellung und anderes gehen wir nicht ein. Auch für den allgemeinen Fall (5) wird eine geeignete Parameterdarstellung gegeben. Führt man die Abkürzungen ein: \(-g_i(t)=\sigma_i^2+2\sqrt{3}\,\sigma_i t-t^2\) \((i = 1, 2)\), so erhält man: \[ \displaylines{\rlap{\qquad(6)} \hfill x=\sqrt{\frac{g_1(t)}{\sigma_2-\sigma_1}},\quad y=\sqrt{\frac{g_2(t)}{\sigma_1-\sigma_2}}. \hfill} \] (Der Fall des Doppelpunktes tritt dann ein, wenn die Resultante von \(g_1=0\), \(g_2=0\) verschwindet.) An die Darstellung (6) knüpfen sich eingehende, durch Zeichnungen unterstützte Realitätsbetrachtungen, insbesondere werden die 8 Doppeltangenten genau untersucht; vier von ihnen schneiden sich in einem Punkte, die vier andern sind paarweise parallel, und die beiden Richtungen stehen senkrecht aufeinander. Weiter werden die 12 Wendepunkte diskutiert, die Asymptoten und die Brennpunkte. Ferner läßt sich die \(C_4\) als orthogonale Projektion (auf die \(xy\)-Ebene) einer Raumkurve vierter Ordnung erster Spezies auffassen, andererseits auch vermöge einer einfachen ein-vierdeutigen Verwandtschaft als Bild einer Parabel, auch als Hüllkurve eines quadratischen Kreisbüschels; endlich ist sie durch projektive Kreisbüschel erzeugbar. Die Quadratur und Rektifikation der \(C_4\) führt auf elliptische Integrale. Den Schluß bildet die eindeutige Parameterdarstellung der \(C_4\) durch elliptische Funktionen.