Über die Inversion einer Fläche und die konforme Abbildung zweier Flächen aufeinander mit Erhaltung der Krümmungslinien. (Q1482763)

Im ersten Teile der Arbeit werden alle von den Fundamentalgrößen einer Fläche abhängigen Invarianten der Inversion bestimmt; es sind die Koeffizienten \(i_{\alpha\beta}\), \(j_{\alpha\beta}\) \((\alpha,\beta=1,2,3)\) der beiden Differentialformen \[ I=\frac{ds^2}{\sqrt{EG-F^2}}\;\text{und}\;J=\frac{-\gamma\,ds^2}{\root4\of{EG-F^2}} \] (\(\gamma\) bedeutet die geodätische Torsion der Kurve vom Linienelement \(ds\)) und die Funktionen von diesen Koeffizienten; zwischen diesen bestehen die Identitäten \[ |\,i_{\alpha\beta}\,|=1,\;\; i_{11}j_{22}-2i_{12}j_{12}+ i_{22}j_{11}=0. \] Als Anwendungen werden folgende Sätze bewiesen: Für alle orthogonalen Trajektorien der sphärischen Kurven, die von den um das Inversionszentrum beschriebenen Kugeln aus der Fläche ausgeschnitten werden, ändert sich die geodätische Krümmung bei der Inversion proportional dem Quadrat des Kugelradius; und umgekehrt. -- Damit eine Fläche eine einfach unendliche Schar geodätischer Linien enthalte, die bei der Inversion wieder in eine solche Schar übergeht, ist notwendig und hinreichend, daß sie zu den \textit{Monge}schen Gesimsflächen gehöre, deren eine Evolutenschale ein Kegel mit beliebiger Basis ist. -- Für jede Fläche bleibt der \textit{Weingarten}sche Differentialausdruck \(\varOmega\) bei der Inversion invariant. Der zweite Teil beschäftigt sich mit der konformen Abbildung zweier Flächen aufeinander, bei der die Krümmungslinien sich entsprechen. Notwendig und hinreichend dafür ist die Bedingung: Die \textit{Weingarten}schen \(\varOmega\)-Ausdrücke beider Flächen dürfen sich nur um ein Totaldifferential einer Funktion des Ortes unterscheiden. Anwendungen auf isotherme Flächen, bei denen -- wie \textit{Weingarten} gezeigt hat -- \(\varOmega\) ein Totaldifferential des Ortes sein muß, beschließen die Arbeit.