Om en Klasse algebraiske Ligninger (Über eine Klasse algebraischer Gleichungen). (Q1482791)

Der Verf. untersucht diejenigen algebraischen Gleichungen \(f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0\), die durch die Transformation \(x=\frac{ay+b}{cy-a}, a^2+bc\neq0\) ungeändert bleiben. Wird von einfachen Fällen abgesehen, so reduziert sich diese Aufgabe auf die Untersuchung der beiden Transformationen, für welche \(a=b=1,c=0\) und \(a=c=1,b=0\) ist. Wird aber \(F(x)=x^n-f\left(-\frac1x\right)\) gesetzt, so ist der letzte Fall auf den ersten zurückgeführt. Es ist daher bloß\ das ganze Polynom ersten Grades \(f(x)=0\) so zu bestimmen, daß\ es der Funktionalgleichung \((-1)^nf(-x-1)=f(x)\) Genüge leistet. Diese Aufgabe ist mit der Theorie der \textit{Bernoulli}schen Zahlen sehr nahe verbunden; denn die notwendigen und hinreichenden Bedingungen, die die Koeffizienten \(a_n\) befriedigen müssen, lauten: \[ \begin{aligned} \l\\ a_0=\frac2na_1\\ a_{2p}=\frac2{n-2p}\left(a_{2p+1}+\sum_{s=1}^{s=p}(-1)^{s- 1}\binom{n-2p+2s-1}{2s}B_sa_{2p-2s+1}\right), \end{aligned} \] wo die \(B_s\) die \textit{Bernoulli}schen Zahlen bezeichnen. Ein einfaches solches Polynom, dessen Nullstellen man angeben kann, wird untersucht. In späteren Arbeiten hat der Verf. unter Zuhülfenahme der obengenannten Funktionalgleichung eine ganz elementare Theorie der \textit{Bernoulli}schen Zahlen entwickelt.