A fundamental system of invariants of the general modular linear group with a solution of the form problem. (Q1482861)

Sei \(G_m\) die Gruppe der linearen homogenen Transformationen \(S\) der Determinante 1 von \(m\) Variabeln, mit Koeffizienten, die dem \textit{Galois}schen Felde der Ordnung \(p^n\) angehören, so soll für \(G_m\) ein Fundamentalsystem von \(m\) absolut invarianten Formen aufgestellt werden. Sodann handelt es sich um das ``Formenproblem'' der \(G_m\). Dieses verlangt, alle Wertreihen der \(m\) Variabeln zu finden, für die die \(m\) Invarianten vorgegebene Werte annehmen. Alle Reihen von Lösungen erweisen sich als lineare Kombinationen der Wurzeln einer Gleichung, in der nur die Potenzen \(p^{nm},p^{n(m-1)},\dots,p^n,1\) einer einzigen Variable auftreten. Diese Fundamentalgleichung hat ähnliche Eigenschaften, wie die einer linearen Differentialgleichung der Ordnung \(m\). Es werden die Grade der irreduzibeln Faktoren der Fundamentalgleichung bestimmt sowie das kleinste Feld, in dem die Gleichung vollständig lösbar wird. Die so entstehende Theorie geht erheblich hinaus über die der Gleichung \(\xi^{p^{nm}}-\xi=0\), die der Theorie der endlichen Felder zugrunde liegt. Bezeichnet man die Determinante \(|x^{p^{e_in}}|\,(i=1,\dots,m)\) mit \([e_1,\dots,e_m]\), so wird diese vermöge einer Transformation \(T\) von \(G_m\) bis auf den Faktor \(|T|\) reproduziert. Jede dieser Funktionen besitzt den invarianten Faktor (1) \(L_m=[m-1,m-2,\dots,0]\). Versteht man weiter unter den invarianten Größen \(Q_{ms}\) die Quotienten: \[ (2)\quad Q_{ms}=[m,m-1,\dots,s+1,s-1,\dots,1,0]/L_m, \] so gilt der grundlegende Satz (I). Die \(m\) Invarianten \(L_m,Q_{m1},\dots,Q_{m,m-1}\) sind voneinander unabhängig und bilden ein Fundamentalsystem von Invarianten für die Gruppe \(G_m\). Zunächst wird der ternäre Fall untersucht und durch wirkliche Ausrechnung gezeigt, daß\ jede ganze Invariante der \(G_3\) eine ganze Funktion der \(L_3,Q_{32},Q_{31}\) ist. Für den allgemeinen Fall werden die Quotienten \(Q\) einer geeigneten Determinantenumformung unterzogen, die zugleich gestattet, zwichen den \(L\) und \(Q\) eine Rekursionsformel aufzustellen. Daraufhin läßt sich der Satz (I) beweisen. Nunmehr wird an das Formenproblem herangegangen. Hier beachte man, daß\ es zweckmäßig erscheint, wenn die Lösung eines Gleichungssystems mit Koeffizienten in einem \textit{endlichen} Felde von Modul \(P\) zu diskutieren ist, das \textit{unendliche} Feld \(F_p\) einzuführen, das sich zusammensetzt aus allen Wurzeln aller ganzrationalen Gleichungen mit ganzen Koeffizienten mod. \(p\). Es besitzt dann das Feld \(F_p\), ganz wie das Feld aller komplexen Zahlen, die Eigenschaft, daß\ irgend eine algebraische Gleichung vom Grade \(k\), mit Koeffizienten im Felde \(F_p,k\) Wurzeln des Feldes besitzt. Es handelt sich darum, solche Wertreihen der \(m\,x_i\) zu finden, für die die fundamentalen Invarianten \(L^r,Q_{ms}(r=p^n-1,s=1,2,\dots,m-1)\) vorgegebene Werte \(l,q_s\) in \(F_p\) besitzen. Irgendeine Lösung \((x_i)\) des Problems genügt dann der ``Fundamentalgleichung'': \[ (3)\quad l\xi p^{nm}+\sum_{s=1}^{m-1}(-1)^{m-1}lq_s\xi p^{ns}+(-1)^mlp^n\xi=0 \] in dem Sinne, daß\ \(x_i=c_{i1}\xi_1+\cdots+c_{im}\xi_m\), wo die \(c_{ij}\) Elemente einer in \(GF[p^n]\) nicht identisch verschwindenden Determinante sind, und die \(\xi\) eine Reihe von Wurzeln der Gleiehung (3) bilden, die in bezug auf das Feld linear unabhängig sind. Dies gilt zunächst nur für den Fall \(l\neq0\). Aber für \(l=0\), und wenn auch der \(t\) ersten der Größen \(q\) verschwinden, tritt nur eine geringfügige Modifikation ein. Der Fall \(m=2\) wird für sich behandelt. Dann hat (3) einen irreduzibeln Faktor \(F(\xi)\) vom Grade \(D\); der Grad eines jeden anderen solchen Faktors ist ein Teil von \(D\) inkl. \(D\) selbst. Daraus folgt, daß\ die Fundamentalgleichung (3) vollständig lösbar ist im Felde \(GF[p^n]\), aber in keinem kleineren Felde: dabei ist \(D\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Exponenten, zu denen die verschiedenen Wurzeln der Gleichung gehören, bzw. \(p\)-mal der Exponent, zu dem ihre Doppelwurzel gehört. Auch für beliebiges \(m\) läßt sich die Fundamentalgleichung (3) in Faktoren irreduzibeln Charakters zerlegen. Dann ist wiederum der Grad jedes irreduzibeln Faktors von (3) im Felde \(GF[p^n]\) ein Teiler von \(D\), wo \(D\geqq m\) ist und den gemeinsamen Grad aller irreduzibeln Faktoren bedeutet, die nicht in einer ähnlichen Gleichung niedrigeren Grades aufgehen. Die Gleichung (3) ist vollständig lösbar in \(GF[p^n]\), aber in keinem kleineren Felde. Nunmehr wird noch die Zahl \(D\) einer näheren Bestimmung unterzogen. Das kleinste Feld \(GF[p^{nD}]\), in dem die Fundamentalgleichung vollständig lösbar ist, wird erhalten für \(D=dp^h\), wo \(d\) das kleinste gemeinsame Vielfache der Exponenten ist, zu denen die Wurzeln der charakteristischen Gleichugn \(\varDelta(x)=0\) gehören, und \(p^h\) die kleinste Potenz von \(p\), die nicht kleiner ist als die Maximalmultiplizität einer Wurzel von \(\varDelta(x)=0\). Im klassischen Falle \(\xi p^{nm}-\xi=0,\) wo \(\varDelta(x)=x^m-1\), wird \(D\) einfach gleich \(m\). Am Schlusse werden noch die Invarianten \(I_m=[m-2,m-4,\dots,4,2,0]/L_m\) für \(m=2,3\) durch \(L\) und die \(Q\) dargestellt und wird eine vollständige Übersicht über die in der Theorie der quadratischen und kubischen Formen auftretenden Invarianten gegeben.