Das Formensystem einer räumlichen Kollineation. (Q1482866)

Das in Rede stehende System hat \textit{Mertens} (F. d. M. 22, 154, 1890) auf unsymbolischem Wege hergeleitet. Der Verf. bedient sich hierzu der Symbolik; die größere Einfachheit dieser Methode zeigt sich u. a. darin, daß\ man ohne verwickelte Rechnungen an weitere Probleme herangehen kann, die mit einer Kollineation \(C\) des \(R_3\) zusammenhängen. Durch eine bilineare Gleichung \((au')(a'x)=0\), wo \(a_ia_k^{'}=a_{ik},a_ka_i^{'}=a_{ki}\) sind im \(R_3\) zwei \(C\) dargestellt. Ist \((y)\) ein gegebener Punkt, so stellt \((au')(a'y)=0\) den Punkt mit den Koordinaten (1) \(\tau\xi_i=a_i(a'y)\) dar, der dem Punkte \((y)\) ``entspricht''. Durch Fortsetzung dieses Verfahrens geht aus dem ursprünglichen Punkte \((y)=P_y^{(0)}\) die Reihe \(P_y^{(i)}\,(i=1,2,\dots)\) hervor. Aus diesen Zwischenformen entsteht durch den \(\varOmega\)- Prozeß\ eine Reihe von Invarianten \(A_i\), wo \(A_0=4,A_1=(aa'),A_2=(ab')(ba')\), usw. Indessen ist hier bereits \(A_5\) durch die niedrigeren \(A\) ausdrückbar. Die Determinante \(\varDelta\) von \(C\) hat den Wert \(\frac1{24}(abcd)(a'b'c'd')\); die Hauptminoren von \(\varDelta\) sind einfache ganze Funktionen der \(A\). Vermöge Auflösung der Gleichungen (1) nach den \(y\) kann man die höheren \(P_y^{(i)}\) auf die niedrigeren zurückführen, und das Entsprechende gilt für die \(A\). Sodann werden die vier Doppelpunkte \(\xi\) von \(C\) bestimmt, so daß\ jeweils \(\xi\) mit \(P_\xi^{(1)}\) zusammenfällt. Fällt für jeden Punkt \((y)\) der Punkt \(P_y^{(n)}\) mit \((y)\) zusammen, so ist \(C\) zyklisch vom Grade \(n\); hierfür werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen aufgestellt. Auf dieser Grundlage wird an die Herstellung eines vollen Systems für \(C\) herangegangen. Enthält eine Form den Faktor \((abcd)\) oder \((a'b'c'd')\), so enthält sie auch den wirklichen Faktor \(\varDelta\), oder aber verschwindet identisch. Daraus folgt zunächst, daß\ die vier Formen \(A_1,\dots,A_4\) die einzigen Invarianten von \(C\) sind. Bei den Kovarianten muß\ der Grad in den \(x\) durch 4 teilbar sein und mindestens einmal der Faktor \((abcd)\) vorkommen. Es existiert nur eine einzige Kovariante \(F\) (mit nur einer Reihe von Variabeln) und entsprechend nur eine einzige Kontravariante \(G\). Größere Schwierigkeit bereiten die Strahlformen. Hier kommen nur Verbindungen der drei Faktorentypen \((\pi a'),(ab'),(ba')\) in Betracht. Ein Ausdruck von der Struktur \((\pi a')(ab')(bc')\dots(h\varrho')\) heißt eine ``Kette''. Kommen in der Kette die \(a_ia_k^{'}\) vom Grade \(i\) vor, so wird sie mit \(K_{\pi\varrho}^{(i)}\) bezeichnet. Eine einfachste solche Bildung, die bereits eine Strahlform ist, ist \((\pi\varrho')^2\). Mit den \(K\) sind indessen die Faktoren einer Strahlform noch nicht erschöpft, das leisten erst die ``Überketten'': (2) \([i,k,l,\dots,r,s]=K_{\pi\varrho'}^{(i)} K_{\varrho'\sigma}^{(k)}\dots K_{r'\pi}^{(s)}\), von denen insbesondere die \(K_{\pi\varrho'}^{(i)}K_{\varrho'\tau}^{(k)}=K_{ik}=K_{ki}\) in Betracht kommen. Es folgt sofort, daß\ der Grad einer Strahlform in den \(\pi_{ik}\) gerade sein muß. Weiter wird gezeigt, daß\ jede weitere Strahlform als Aggregat der \(K_{ik}\,(i,k=1,2,3)\) darstellbar ist. Diese letzteren sechs quadratischen Formen werden genauer auf ihren Zusammenhang untersucht; man kann sie -- und damit jede weitere Strahlform -- auf \(K_{11}\) und \(K_{12}\) zurückführen, die eine einfache geometrische Bedeutung besitzen. Den Schluß\ bildet eine Tabelle des Systems der \(C\); zu den bereits erwähnten Formen treten noch 11 Zwischenformen hinzu. Bei allen Formen des Systems werden die Grade in den Koeffizienten und bezüglichen Variabeln angegeben.