Über einen Satz des Herrn \textit{C. Jordan} in der Theorie der endlichen Gruppen linearer Substitutionen. (Q1482883)

Der in dieser wichtigen Arbeit auf neuem Wege bewiesene Satz von \textit{Jordan} (J. für Math. 84, 89, 1878) lautet: Jede endliche Gruppe \({\mathfrak G}_n\) linearer homogener Substitutionen in \(n\) Variabeln besitzt eine invariante \textit{Abel}sche Untergruppe \(\mathfrak A\), deren Index eine nur von \(n\) abhängige Schranke \(\lambda(n)\) nicht überschreitet. Mit diesem fundamentalen Satz, dessen Beweis bei \textit{Jordan} noch sehr kompliziert ist, hat sich in neuerer Zeit \textit{Blichfeldt} (American M. S. Trans. 4, 387, 5, 310; vgl. auch das Referat auf S. 157 dieses Bandes) eingehend beschäftigt und nich allein die Existenz einer Untegruppe \(\mathfrak A\) von der verlangten Art bewiesen, sondern auch genauere Angaben über die arithmetische Natur der für den Index dieser Untergruppe in Betracht kommenden Werte gemacht. An Einfachheit und Durchsichtigkeit wird aber der \textit{Blichfeldt}sche Beweis von dem hier angegebenen weit übertroffen. Um eine Untegruppe \(\mathfrak A\) von der verlangten Art zu konstruieren, betrachtet \textit{Bieberbach} diejenigen Substitutionen von \({\mathfrak G}_n\), deren charakteristische Wurzeln in genügender Nähe der Stelle 1 liegen. Mit Hülfe einer Methode, die in der Theorie der unendlichen Gruppen vielfach benutzt wird, zeigt er, daß\ diese Substitutionen untereinander vertauschbar sind. Ein wichtiges Hülfsmittel beim Beweis bildet die bekannte Tatsache, daß\ jede endliche Gruppe \({\mathfrak G}_n\) durch eine lineare Transformation der Variabeln in eine Gruppe unitärer Substitutionen übergeführt werden kann. Eine solche Gruppe besitzt nun die Eigenschaft, daß\ in ihr je zwei Substitutionen, deren Koeffizienten sich dem absoluten Betrage nach von den entsprechenden Koeffizienten der identischen Substitution um weniger als \(\frac1{64n^6}\) unterscheiden, vertauschbar sind. Diese Substitutionen erzeugen eine invariante \textit{Abel}sche Untegruppe, deren Index unterhalb \[ \lambda(n)=(1+32^4n^{10})^{2n^2} \] liegt.