Über den von \textit{L. Bieberbach} gefundenen Beweis eines Satzes von \textit{C. Jordan}. (Q1482884)

Der \textit{Bieberbach}sche Beweis des \textit{Jordan}schen Satzes (vgl. das vorstehende Referat) stützt sich auf die Betrachtung derjenigen Elemente \(A\) einer endlichen Gruppe unitärer Substitutionen, bei denen die Koeffizienten von \(E-A\) dem absoluten Betrage nach genügend klein sind. Indem \textit{Frobenius}, um die Koeffizienten einer Matrix \(M\) abzuschätzen, nicht jeden Koeffizienten einzeln, sondern die Quadratsumme \(\vartheta(M)\) der absoluten Beträge aller Koeffizienten von \(M\) betrachtet, gelangt er zu einer wesentlichen Vereinfachung des Beweises. Der \textit{Jordan}sche Satz ergibt sich auf Grund folgender Hülfssätze: I. Sei \(C=ABA^{-1}B^{-1}\) der Kommutator der beiden unitären Substitutionen \(A\) und \(B\), und sei \(\vartheta(E-B)<4\). Ist dann \(A\) und \(C\) vertauschbar, so ist auch \(A\) mit \(B\) vertauschbar, also \(C=E\). II. Ist \(C\) der Kommutator der beiden unitären Substitutionen \(A\) und \(B\), so ist \[ \vartheta(E-C)\leqq2\vartheta(E-A)\vartheta(E-B). \] III. Sind \(A\) und \(B\) zwei unitäre Substitutionen einer endlichen Gruppe, und ist \(2\vartheta(E-A)<1,\vartheta(E-B)<4\), so ist \(A\) mit \(B\) vertauschbar. -- Betrachtet man nun in einer endlichen Gruppe unitärer Substitutionen \(n\)-ten Grades die Gesamtheit aller Elemente \(A\), die der Bedingung \(2\vartheta(E- A)<1\) genügen, so erzeugen diese Elemente eine invariante \textit{Abel}sche Gruppe, deren Index die Zahl \[ \lambda(n)=(\sqrt{8n}+1)^{2n^2} \] nicht überschreitet. Eine Reihe noch schärferer Sätze über die Vertauschbarkeit gewisser Elemente einer endlichen Gruppe unitärer Substitutionen hat der Verf. in seiner Arbeit ``Über unitäre Matrizen'', Berl. Ber. 1911, 373, aufgestellt (Referat S. 172 dieses Bandes).