Successioni ricorrenti in un campo di \textit{Galois}. (Q1482900)

Es sei \(p\) eine ungerade Primzahl und \(G\) ein \textit{Galois}sches Feld mit \(p^n\) Elementen. Der Verf. betrachtet für jede Größe \(\alpha\) des Feldes die rekurrente Folge \(x_0,x_1,x_2,\dots\), in der \(x_0=0,x_1=1\) und \(x_\nu=\alpha x_{\nu-1}+x_{\nu-2}\) ist. Eine solche Folge ist stets reinperiodisch. Die Anzahl \(m\) der in der Periode \(x_0,x_1,\dots,x_{\sigma-1}\) auftretenden Nullen kann nur einen der Werte 1, 2 oder 4 haben; die Zahl \(\sigma\) ist durch \(m\) teilbar. Für \(m=2\) ist \(x_0=x_\frac\sigma2=0\), für \(m=4\) wird \(x_0=x_\frac\sigma4=x_\frac{2\sigma}4=x_\frac{3\sigma}4=0.\) Es werden Kriterien für das Eintreten eines dieser drei Fälle angegeben. Ist insbesondere \(p^n\) von der Form \(4\nu+3\), so kann \(m\) nicht gleich 4 sein. Es wird dann \(m=1\) oder \(m=2\), je nachdem \(\alpha^2+4\) quadratischer Rest oder Nichtrest ist. Im ersten Fall heißt \(\alpha\) eine elliptische, im zweiten Fall eine hyperbolische Größe. Bei den elliptischen Größen, deren Anzahl \(\frac{p^n-1}2\) ist, wird \(\sigma\) ein Teiler von \(p^n-1\), bei den hyperbolischen Größen geht \(\sigma\) in \(2(p^n+1)\) auf.