Relations entre les paramétres cayléens de trois substitutions orthogonales, dont l'une est égale au produit des deux autres. (Q1482916)

Nach \textit{Cayley} lassen sich die \(n^2\) Elemente \(r_{lk}\) einer orthogonalen Substitution \(R\) durch \(\frac{n(n-1)}2\) Parameter \(e_{lk}\,(e_{lk}=-e_{kl},e_{ll}=0)\) rational ausdrücken. Für \(R''=RR'\) sollen die \(e''\) durch die \(e\) und \(e'\) dargestellt werden. Vesteht man unter \(T\) überhaupt eine Substitution mit alternierenden Elementen \(e_{lk}\), so kommt es zunächst darauf an, \(T''\) darzustellen als Funktion von \(T,T'\). Potenzen von \((TT')\), sowie der Diagonalminoren der Determinanten \(|T|\) und \(|T'|\). Es bedeute \(U\) die Einheitssubstitution, \(\omega\) eine willkürliche Konstante, \(E\) die Substitution \(\omega U+T,\varepsilon_{lk}\) den durch \(|E|\) dividierten Minor von \(e_{lk}\) in \(|E|\) und \(\overline{T},\overline{E}\) die inverse Substitution von \(T\), bzw. \(E\). Die \textit{Cayley}schen Relationen \(r_{ll}=2\omega\varepsilon_{ll}-1,r_{lk}=2\omega\varepsilon_{lk}\) lassen sich zusammenfassen in die eine (symbolische) Gleichung \(R=2\omega\overline{E}-U\). Ist dann \(R''=RR'\), so wird die Substitution \(A=\omega E\overline{E}''E'\) gleich \(\omega^2U+TT'\). Man setze \(TT'=B\), so daß\ \(b_{lk}=\sum_ie_{li}e^{'}_{lk}\). Dadurch gelangt man zu der grundlegenden Beziehung (I) \(\omega\overline{E}''=\overline{E}A\overline{E}'\) und ihrer inversen. Denkt man sich noch \(\overline{A}\) als ganze Funktion von \(T,T'\) dargestellt, so dient (I) dazu, die \(e''\) durch die \(e,e'\) auszudrücken. Die Elemente von \(\overline{A}\) sind, abgesehen von Nenner \(|A|\), die Minoren von \(|A|\); nach Potenzen von \(\omega^2\) entwickelt, sind diese Minoren ganze Funktionen von \(\omega^2\) von einem Grades \(\leqq n-1\). Somit wird \(|A|\overline{A}\) eine Summe \(P\) von Substitutionen \(B_i\), je multipliziert mit den verschiedenen Potenzen von \(\omega^2\), und hieraus folgt die Beziehung \(|A|U=AP=(\omega^2A+B)P\). Die Vergleichung beider Seiten führt zur sukzessiven Bestimmung der \(B_i\), und deren Einsetzung liefert: (II) \(|A|E''=\omega E'PE\). Hier enthalten noch beide Seiten einen gemeinsamen Faktor, nach dessen Unterdrückung die Aufgabe, die \(e''\) implizit durch die \(e,e'\) auszudrücken, als erledigt anzusehen ist. Denn die Einsetzung des gefundenen Wertes von \(\overline{A}\) in (I) liefert die definitive Darstellung von \(T''\) in Potenzen von \((TT')\). Die wirkliche Ausführung der expliziten Darstellung der \(e''\) durch die \(e,e'\) geschieht in den Fällen \(n=2,3,4,5,6\). Für \(n=2\) resultiert: \((\omega^2- e_{12}e_{12}^{'})e^{''}_{12}=\omega^2(e_{12}+e_{12}^{'})\), d. i. die Relation zwischen tg\(\alpha\), tg\(\beta\), und tg\((\alpha+\beta)\). Für \(n=3\) entstehen drei [bereits durch \textit{Klein} (F. d. M. 16, 61, 1884), vgl. \textit{Darboux} (F. d. M. 36, 680, 1905) bekannt] Relationen, deren erste lautet: \[ (\omega^2+\sigma_1)e_{12}^{''}=\omega^2(e_{12}+e_{12}^{'})+\omega (e_{12} e_{22}^{'}-e_{23}e_{13}^{'}), \] wo \(\sigma_1\) bestimmt ist durch \(TT'T=\sigma_1T\). Geometrisch sagen diese Relationen aus, wie sich zwei Drehungen um je eine von zwei sich schneidenden Achsen zu einer dritten solchen zusammensetzen. Im Falle \(n=4\) ergeben sich sechs Relationen, die \textit{Cole} (F. d. M. 22, 813, 1890) zuerst aufgestellt hat. Allgemein läßt sich die Gleichung \(R''=RR'\) deuten als Zusammensetzung zweier Bewegungen zu einer einzigen.