A new invriantive function. (Q1482959)

Die Nullstellen der Funktion \(\frac{1-e^x}{e^x}\) sind \(\pm\varrho\cdot2i\pi\, (\varrho=1,2,\dots)\). Versteht man daher unter den \(\alpha_\varrho\) die reziproken Werte \(\pm\frac1{\varrho\cdot2i\pi}\), so gilt die unbegrenzte Produktentwicklung: \(\prod_\varrho(1-\alpha_\varrho x)=\frac{1- e^x}{e^x}\). Auf dieses Produkt wendet \textit{Gorden} (F. d. M. 30, 160, 1899) die \textit{Waring}sche Formel an und gelangt zu der merkwürdigen Potenzsummendarstellung für die reziproken Werte \(\frac1\varrho\) der natürlichen Zahlen \((g=1,2,\dots)\): \[ (\text{I})\quad sum_\varrho\frac1{\varrho^{2g}}=(-1)^g2^{2g- 1}\pi^{2g}\sum_k\frac{(-1)^k(h- 1)!}{k_1!k_2!\cdots}\left(\frac1{2!}\right)^ {k_1}\left(\frac1{3!}\right)^{k_2}\cdots. \] Es wird gezeigt, daß\ für die linke Seite eine unbegrenzte Reihe derartiger Darstellungen existiert. Als der innere Grund dieser Erscheinung erweist sich die Existenz einer gewissen invariablen Funktion mit einem willkürlichen Parameter. Zugleich gehen darus verschiedene Determinantentheoreme hervor. Werden die Wertsysteme \((\alpha_1,\dots,\alpha_m),(\beta_1,\dots,\beta_n),\dots,(\lambda_ 1,\dots, \lambda_t)\) kurz mit \(\alpha,\beta,\dots,\lambda\) bezeichnet, und mit \(\alpha+\beta\) die Zusammenfassung von \(\alpha,\beta\), so gilt, unter \(s_\nu(\alpha)\) die Potenzsumme \(\alpha_1^\nu+\cdots+s_m^\nu\) verstanden, das distributive Gesetz (1) \(s_\nu(\alpha+\beta+\cdots+\lambda)=s_\nu(\alpha)+\cdots+s_\nu(\lambda)\). Die Systeme \(\alpha,\beta,\dots,\lambda\) seien die Wurzeln der Gleichungen \(\alpha(a,x)=a_0x^m+\cdots+a_m=0,\beta(b,x)=b_0x^n+\cdots+b_n=0,\d ots,\lambda (l,x)=l_0x^t+\cdots+l_t=0\). Die reziproken Werte dieser Wurzeln sind dann die Wurzeln der Gleichungen \((a,x)_m=x^m\alpha\left(a,\frac1x\right)=0,\dots,(l,x)_t=x^t\lambda\left(l, \frac1x\right)=0,\) oder auch die Wurzeln der einen Produktgleichung \((A,x)_u=(a,x)_m(b,x)_n\cdots(l,x)_t=0\,(u=m+n+\cdots+t)\). Dann gilt auch für diese Wurzeln die assoziative Gleichung (1), selbst wenn (bei vorausgesetzter Konvergenz) die Grade \(m,n,\dots,t\) unbegrenzt wachsen. Man betrachte jetzt als Beispiel die Gleichung \((b,x)_n=\left(1+\frac{\lambda x}n\right)^n=0\), mit den \(n\) gleichen Wurzeln \(\beta'=-\frac\lambda n\). Für \(\lim n=\infty\) und \((b,x)_\infty=e^{\lambda x}=0,\beta=-0,-0,\dots,s_1(\beta)=- \lambda,s_\nu(\beta)=0\,(\nu>1)\). Für beliebiges \(m\) bilde man \(e^{\lambda x}(a,x)_m=(A,x)_m=A_0+A_1x+A_2x^2+\cdots=0.\) Hier sind die \(A\) lineare Bildungen der \(a\) gemäß: \[ (2)\quad A_k=b_ka_0+b_{k-1}a_1+\cdots+b_0a_k,\quad \text{wo}\quad b_k=\frac{\lambda_k}{k!}. \] Dann behält irgendeine Funktion \(f_\nu\) der \(a\) ihren numerischen Wert, wenn die \(a\) vermöge (2) durch die \(A\) ersetzt werden. Die Koeffizientenrelationen (2) sind nicht von der Art, wie sie in der gewöhnlichen Invariantentheorie der binären Formen (wo die \(x_1,x_2\) linear substituiert werden), und führen daher zu einer neuen Art invarianter Funktionen \(f_\nu\). Von dem obigen Beispiel aus gelangt man leicht zu Verallgemeinerungen, indem z. B. \(e^{\lambda x}\) ersetzt wird durch \(e^{\lambda x^k/k}\) usw. Durch Kombinierung dieser Auffassung mit dem \textit{Gordan}schen Verfahren entstehen dann die Ausdehnungen der eingangs erwähnten \textit{Gordan}schen Formel. Leider ist die Darstellung des Verf. bei ihrer übertriebenen Kürze eine schwer verständliche.