I numeri reali considerati come successioni di numeri decimali. (Q1482967)

In dem ersten Paragraphen werden zur Veranschaulichung der nachfolgenden Betrachtungen Sätze über Segmente auf einer Geraden entwickelt, wie man dies bei der Einführung der Irrationalzahlen nach dem Vorbilde in Euklids Elementen schon immer getan hat. Hierbei entstehen ``Folgen'' von Zahlen, mittels deren die Grundlagen zu einer elementaren Begründung des Rechnens mit Irrationalzahlen gewonnen werden. Der \S 2 enthält dann die endgültige Definition der ``realen Zahlen''. ``Wir werden die Folge (II) des vorangehenden Paragraphen durch den in seiner Art einzigen Ausdruck (III) \(a_0,a_1a_2a_3\dots\) bezeichnen. Bei dem Komma oder bei der ersten, zweiten, dritten, ... Ziffer nach dem Komma abgeschnitten, kommt er auf den ersten, zweite, dritten, ... Schlußwert (termine) der Folge (II) zurück. Wir werden den Namen ``reale Zahl'' dem Ausdruck (III) geben; in ihm setzen wir die ganze Zahl \(a_0\) (ganzer Bestandteil) und die Ziffer \(a_s\) (des dezimalen Bestandteiles), der jedem ganzzahligen Werte von \(s\) entspricht, als bekannt voraus. Wie groß auch \(s\) sein mag, so werden wir annehmen, daß hinter den auf \(a_s\) folgenden Ziffern immer solche vorhanden sind, die nicht Null sind. Die Schlußwerte der Folge heißen ``Näherungswerte mit Fehlbetrag'' (per difetto) der realen Zahl (oft auch einfach Näherungswerte), der Reihe nach unterhalb einer Einheit, eines Zehntels,... Die Zahlen, welche aus denselben Schlußwerten entstehen durch Vermehrung der letzten Ziffer zur Rechten um eine Einheit, werden ``Näherungswerte mit Mehrbetrag'' (per eccosso) genannt, entsprechend denen mit Fehlbetrag unterhalb einer Einheit, eines Zehntels usw.'' Mit Hülfe diese Begriffsbestimmungen werden nun die Rechenregeln in vorsichtigem Aufbau begründet. \S 3. Summe und Differenz. \S 4. Produkt und Quotient. \S 5. Potenz und Wurzel.