Das Analogon zur Funktion \(\varphi(x)\) in einem zu vorgegebenen Primzahlen teilerfremden Zahlensystem. (Q1483040)

Es sei \(P\) das Produkt von endliche vielen Primzahlen \(p_1,\dots\). Der Verf. legt dann an Stelle aller ganzen rationalen Zahlen alle zu \(P\) teilerfremden Zahlen zugrunde. Dieses System sei \((P)\); für \(P=1\) erhält man das gewöhnliche System aller Zahlen. \(\varphi_P(x)\) sei die Anzahl aller Zahlen \(\leqq x\) des Systems \((P)\), die zu \(x\) teilerfremd sind. Der Verf. berechnet Formeln für \(\varphi_P(x)\) und legt die asymptotischen Gesetze von \(\varphi_P(x)\) fest. Im Anschluß\ hieran werden die Fragen behandelt: Wie verhält sich die Wahrscheinlichkeit, daß zwei Zahlen \(\leqq n\) von \((P)\) zueinander teilerfremd sind, asymptotisch? Wie verhält sich die Anzahl der positiven unkürzbaren Brüche mit Zähler und Nenner in \((P)\) und \(\leqq n\), asymptotisch? Wie viele verschiedene reguläre Kettenbrüche gibt es asymptotisch, die positive, unkürzbare Brüche mit Zähler und Nenner in \((P)\) und \(\leqq n\) darstellen?