Über die Äquivalenz zweier Hauptsätze der analytischen Zahlentheorie. (Q1483085)

Es sei \(\mu(n)\) die bekannte zahlentheoretische Funktion und \[ M(x)=\sum_{n=1}^x\mu(n),\quad\pi(x)=\sum_{p\leqq x}p, \quad \vartheta(x)=\sum_{p\leqq x}\lg p,\quad\Psi(x)=\sum_{p^m\leqq x}\lg p; \] (die drei letzten über alle Primzahlen \(p\) summiert). Dann ist \[ \begin{matrix} (1)\; \lim_{x=\infty}\frac{\psi(x)}x=1, &(2)\;\lim_{x=\infty}\frac{\pi(x)\lg x}x=1, &(3)\;\lim_{x=\infty} \frac{M(x)}x=0,\;&(4)\;\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}n=0, &(5)\;\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n) \lg n}n=-1. \end{matrix} \] Der Verf. zeigt, daß aus (4) der Satz (1) folgt, wodurch der Primzahlsatz (2) elementar aus (1) folgt; ferner daß der in dem Übergang von (5) zu (1) enthaltene Grenzwertsatz einzig mit (3) bewiesen werden kann. Schließlich beweist der Verf., daßdie den Formeln (2) und (4) in einem beliebigen algebraischen Zahlkörper entsprechenden Formeln äquivalent sind.