Über einen arithmetischen Satz von \textit{Gegenbauer}. (Q1483090)

Der \textit{Gegenbauer}sche Satz lautet: Ist die zahlentheoretische Funktion \(F(x)\) so beschaffen, daß die über alle Teiler \(d_n\) einer großen Zahl \(n\) ausgedehnte Summe \(\sum_{d_n}F(d)\) durch \(n\) teilbar ist, so ist auch \[ (1)\qquad \sum_{d_n}F(d)r^\frac nd\equiv0\quad(\mod.n) \] für jedes ganzzahlige \(r\). Der Verf. fragt, ob (1) auch gilt, wenn (1) für einen anderen Wert als \(r=1\) als erfüllt angenommen wird? Hierzu beweist er: Es sei \(G(r_1,\dots,r_h)\) jede beliebige ganze rationale ganzzahlige Funktion der \(h\geqq 1\) Argumente. Wenn dann die Kongruenz \[ \sum_{d_n}F(d)G\left(r_1^\frac nd,\dots,r_h^\frac nd\right)\equiv\quad0 (\mod.n) \] für eine bestimmte Funktion \(G=G_0\) und ein bestimmtes Wertsystem \(r_{10},\dots,r_{h0}\) besteht, das nicht Wurzelsystem von \(G_0\) ist, und für das \(G_0\) zu \(n\) prim ist, so besteht sie für jedes \(G\) und jedes System \(r_1,\dots,r_h\).