Characters of definite quadratic forms with application to various questions. (Q1483123)

Zugrunde wird gelegt ein Spezialfall eines bekannten \textit{Sylvester}schen Determinantensatzes. Bildet man aus der \(n\)reihigen Determinante \(\varDelta=|a_{ik}|\) vermöge aller zweireihigen Minoren, denen das linke Eckelement \(a_{11}\) angehört, die neue Determinante \(\varDelta'\), so ist \(\varDelta'=a_{11}\varDelta^{n-1}\). Daraufhin lassen sich die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür entwickeln, daß eine quadratische Form \(f=a_{00}x_0^2+\cdots\) mit reellen Koeffizienten und \(n\) Variabeln eine definite ist; die Zahlen \(\varDelta_1,a_{00}\varDelta_2,\varDelta_3,a_{00}\varDelta_4,\dots \), wo die \(\varDelta_1,\varDelta_2,\dots\) die Hauptminoren der Determinante \(\varDelta(f)\) bedeuten, haben positiv zu sein. Auf diesem Wege ergeben sich auch die Lösungen der folgenden Aufgaben; das Kriterium dafür anzugeben, daß eine quadratische Gleichung in \(n\) Variabeln ein nullteiliges Gebilde im \(R_n\) darstellt; die Maxima und Minima expliziter Funktionen von \(n\) Variabeln zu finden; die Bedingungen für die Realität der Wurzeln einer algebraischen Gleichung zu ermitteln. Sind auch die Ergebnisse im wesentlichen bereits bekannt, so ist doch der übersichtliche Zusammenhang, in dem die bezeichneten Aufgaben hier behandelt werden, von Interesse.