On the inverse problem in the arithmetic algebraic theory of binary quadratic forms. (Q1483125)

(Siehe JFM 42.0241.01) Es liege eine in einem gewisse Bereiche eindeutige Transformation \(T\) zwischen zwei Reihen von \(n\) Variabeln \(x_i,X_i\) vor, die eine endliche Anzahl von \(\nu\) Parametern \(r_k\) enthalte. Geometrisch verbindet \(T\) zwei Punkte \(p,P\) eines \(R_n\). Man wähle eine hinreichende Anzahl von partikularen Paaren \((p_i,P_i)\) der \(T\) beliebig, aber fest aus, denke sich deren Koordinanten in die Gleichungen von \(T\) eingesetzt und aus der Gesamtheit der so entstehenden Gleichungen die \(r\) eliminiert. Die Eliminationsresultate stellen dann wiederum die \(T\) dar, nur daß jetzt an Stelle der \(r\) die Koordinaten jener besonderen Punktpaare als neue (überzählige) Parameter fungieren. Bilden überdies die \(T\) eine Gruppe \(G\), so kommt es darauf an, die Eliminantionsresultate auf die Gestalt \(I_k^{'}=I_k\,(k=1,2,\dots)\) zu bringen; die \(G\) läßt sich alsdann durch eine gewisse Anzahl von Invarianten \(I\) charakterisieren. In diesem Sinne werden die Drehungen und Bewegungen des \(R_n\) behandelt; es reichen zu dem Behuf \(n\) einfach lineare Invarianten aus. Die Gesamtheit der eigentlichen und der uneigentlichen Drehungen des \(R_n\) um den Anfangspunkt \(O\) ist dargestellt durch (1) \(x=X\alpha_1+Y\beta_1+Z\gamma_1+\cdots\), usf., wo zwischen den Koeffizienten die bekannten Beziehungen bestehen. Wählt man \(n\) Paare \((p_i,P_i)\) beliebig, aber fest aus, so gelten die Identitäten \(\sum xx_i=\sum XX_i\) oder auch in Vektorgestalt (2) \(({\mathfrak r\mathfrak r}_i)=({\mathfrak R\mathfrak R}_i)\). Umgekehrt wird dann mittels einfacher Determinantenrechnungen gezeigt, daß, wenn für eine unbekannte eineindeutige Punkttransformation \(T(p,P)\) die \((p_i,P_i)\) \(n\) partikulare Paare sind, die die Relationen (2) befriedigen, \(T\) eine eindeutige bestimmte, eigentliche oder aber uneigentliche Drehung (1) ist, je nachdem die Determinante der Koeffizienten den Wert \(\pm1\) erhält. Somit sind die \(n\) skalaren Produkte \(({\mathfrak r\mathfrak r}_i)\) \(n\) charakteristische lineare Invarianten der Drehungen (1). Man vergleiche hiermit die übliche Festlegung einer Drehung (1) als einer \(O\) festlassenden \textit{linearen} Transformation des \(R_n\), für die der \textit{quadratische} Ausdruck \(r^2=(\mathfrak r\mathfrak r)\) invariant bleibt. Hier dagegen wird nur mit linearen Invarianten (eines einzigen Typus) operiert und von \(T\) nur die Eineindeutigkeit vorausgesetzt. Entsprechend läßt sich die Gesamtheit (Gruppe) der eigentlichen Drehungen des \(R_n\) um \(O\) für sich charakterisieren. Es genügen dann \(n-1\) Paare \((p_i,P_i)\), und die \(n\) linearen Invarianten setzen sich zusammen aus den \(n-1\) skalaren Produkten \(({\mathfrak r\mathfrak r}_i)\) und dem skalaren Produkte \(({\mathfrak r\mathfrak r}_i\dots{\mathfrak r}_{n-1})\). Auch die Gesamtheit der uneigentlichen Drehungen um \(O\) läßt sich als solche charakterisieren; man hat nur zu verlangen, daß \(({\mathfrak r\mathfrak r}_1\dots{\mathfrak r}_{n-1})\) eine schiefe Invariante wird. Die Übertragung auf die Bewegungen des \(R_n\) ist leicht zu vollziehen; an Stelle der obigen Vektoren \({\mathfrak r,\mathfrak r}_i\) treten nur solche von der Form \({\mathfrak r-\mathfrak r}_0,{\mathfrak r}_i-{\mathfrak r}_0\). Im Falle \(n=3\) tritt noch ein wichtiger Zusammenhang hervor zwischen den Drehungen und der Invariantentheorie einer quadratischen binären Form \(f\). Dieser Zusammenhang, von anderen Gesichtspunkten aus, durchzieht nach \textit{KleinSommerfeld} und \textit{Waelsch} (F. d. M. 28, 658, 1897; 34, 132, 1903 die ganze Kreiseltheorie. Die Drehungen (1) sind solche linearen Transformationen \(T\) der \(x,y,z\) die den Minimalkegel \(\sum x^2=0\) in sich überführen, so daß die Determinante von \(T\) nur der beiden Werte \(\pm1\) fähig sein soll. Der Kegel repräsentiert einen solchen, der von \(O\) aus einen beliebigen nullteiligen Kegelschnitt in \(E_\infty\) projiziert. Der zweite gleichberechtigte -- aus dem ersten leicht ableitbare -- Typus wird durch einen einteiligen Kegelschnitt in \(E_\infty\) repräsentiert, als dessen Normalgleichung man \(a_0a_2-a_1^2\) wählen darf. Somit sind die ternären Substitutionen \(U\) der \(a_i\), die die Form \(a_0a_2-a_1^2\) in sich überführen, die ``induzierten'' Substitutionen der Koeffizienten \(a_i\) einer binären quadratischen Form (3) \(f=a_0\lambda_1^2+2a_1\lambda_1\lambda_2+a_2\lambda_2^2\), die hervorgehen, wenn man die \(\lambda_1,\lambda_2\) einer Substitution \(S\begin{pmatrix} \alpha &\beta\;\gamma &\delta \end{pmatrix}\) mit der Determinante \(\pm1\) unterwirft. Sind daher \(b_\lambda^2,c_\lambda^2,d_\lambda^2\) drei beliebig, aber fest gegebene binäre quadratische Formen, so läßt sich die Gruppe der \(U\) (mit der Determinante \(\pm1\)) charakterisieren als die Gesamtheit der Transformationen der \(a_i\), für die bilinearen Bildungen \((ab)^2,(ac)^2,(ad)^2\) absolute Invarianten sind. Entsprechend kann man wieder die Gesamtheiten der \(U\) mit der Determinante \(+1\), resp. \(-1\) je für sich charakterisieren. Hiermit ist organisch verbunden eine arithmetische Umkehraufgabe für die Form \(f\) (3), die in der zweiten Abhandlung behandelt wird. Vermöge einer ganzzahligen \(S\begin{pmatrix} \alpha &\beta\\ \gamma &\delta\end{pmatrix}\) mit der Determinante \(\nabla\) gehe \(f\) in eine Form \(F\) mit Koeffizienten \(A_i\) über. Die ternären Substitutionen \(U\), vermöge deren die \(A_i\) in den \(a_i\) ausgedrückt werden, sind die induzierten von \(f\). Umgekehrt seien beliebige ganzzahlige ternäre Substitutionen zwischen Größen \(A_i\) und \(a_i\) vorgelegt, mit einer Determinante \(D\neq0\), so daß die Identität besteht: (4) \(A_0A_2-A_1^2=k(a_0a_2-a_1^2)\), wo \(k\) nur von den Substitutionskoffizienten \(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i\) abhängt. Man frage nach einer ganzzahligen Substitution \(S\), so daß die \(U\) vermöge \(S\) als die induzierten einer Form \(f\) (3) ercheinen. Vorerst werden die \(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i\) als beliebige Größen angenommen. Durch Einführung von vier geeigneten Parametern \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) läßt sich die \(U\) auf die obige Normalform bringen, und zwar nur auf eine einzige Art. Es gibt dann aber noch zwei ``entgegengesetzte'' \(S\) von der Form \(\begin{pmatrix}\alpha &\beta\\ \gamma &\delta \end{pmatrix}\) und \(\begin{pmatrix} -\alpha, &-\beta\\ -\gamma, &-\delta\end{pmatrix}\), vermöge deren \(U\) als induzierte Substitution einer Form \(f\) erscheint. Dabei ist von selbst \(\nabla=D\), und \(D\) ist nur der beiden Werte \(\pm1\) fähig. Sind im besonderen die \(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i\) reell, so sind die \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) entweder auch reell, oder aber alle rein imaginär, je nachdem einer der vier Eckkoeffizienten \(\alpha_1,\alpha_3,\gamma_1,\gamma_3\) positiv oder aber negativ ist. Nunmehr setzt der arithmetische Teil der Untersuchung ein. Sind dann die \(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i\) ganzrational, so sind wieder zwei Hauptfälle zu unterscheiden, je nachdem die \(\alpha_1,\alpha_3,\gamma_1,\gamma_3\) positiv oder negativ sind. Im ersteren Falle sind auch die \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) ganzrational, im letzteren sind es mit \(i\) multiplizierte ganzrationale Zahlen. Soll der erstere Fall eintreten, so ist dazu notwendig und hinreichend, daß irgend einer der vier Eckkoeffizienten positiv ist. Diese Ergebnisse lassen sich weiter auf den Fall ausdehnen, daß die \(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i\) ganze algebraische Zahlen eines endlichen Körpers \(K\) sind. Wiederum sind die vier Eckkoeffizienten entweder selbst Quadrate ganzer Zahlen in \(K\), oder aber sie unterscheiden sich von solchen Quadraten um eine bestimmte Einheit \(\varepsilon\) von \(K\); entsprechend sind die \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\) entweder ganze Zahlen in \(K\), oder aber sie unterscheiden sich von solchem um den Faktor \(\sqrt\varepsilon\).