Fractions continues et différences réciproques. (Q1483136)

Der Titel der Arbeit läßt bei weitem nicht den umfangreichen Inhalt erkennen; in dieser Veröffentlichung ist ein großer Teil der Resultate, die der Verfasser in den Jahren 1908-1910 ausgearbeitet hat, wieder abgedruckt; die Arbeit ist 1907 schon eingesandt, aber erst 1910 erschienen. Untergelaufene Versehen sind durch briefliche Mitteilungen des Verfassers bei \textit{Wallenberg-Guldberg} (Abschnitt IV 5 B dieses Bandes) verbessert. In Kap. 1 knüpft der Verf. an die \textit{Poincaré}schen Arbeiten (F. d. M. 14, 338, 1882 u. 15, 342, 1883) an und zeigt, daß die dort für Differentialgleichungen abgeleiteten Sätze mit entsprechenden Abänderungen auch für die Differenzengleichungen gelten; er gibt also eine funktionentheoretische Ableitung über Lösungen von Differenzengleichungen. Das 2. Kapitel behandelt die Integration von Differential- und Differenzengleichungen durch Kettenbrüche. Während nun die Reihen im allgemeinen divergieren, behalten in vielen Fällen die Kettenbrüche noch Bedeutung; außerdem sind bei den hier gegebenen Integrationsmethoden die Gleichungen vollständig in der ganzen Ebene integriert und die Lösungen infolge ihrer Konvergenz zu numerischen Rechnungen sehr geeignet; aber die wenig geschmeidige Funktionsform des Kettenbruches ist hinderlich bei vielen Anwendungen. Kapitel 3 gibt dann Anwendungen der Resultate auf die \textit{Gauß}sche hypergeometrische Differentialgleichung, auf Systeme von hypergeometrischen Differenzengleichungen, auf den \textit{Gauß}schen Kettenbruch u. a. Das folgende Kapitel ``Reziproke Differenzen'' ist eine ausführliche Darstellung von C. R. 147, 521-524 (F. d. M. 39, 396-397, 1908). Im Schlußkapitel werden einige Funktionen in Kettenbrüche mit Zuhülfenahme der Methode der reziproken Differenzen entwickelt; die größere Anzahl der Kettenbruchdarstellungen ist wohl neu.