Sur une propriété des séries qui ne sont pas absolument convergentes. (Q1483205)

Ist \(\sum a_n\) eine nur bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern, so kann man bekanntlich, wie \textit{Riemann} zuerst bemerkt, durch geeignete Veränderung der Reihenfolge der Glieder es erreichen, daß die Reihe konvergent bleibt und eine beliebig vorgeschriebene Summe erhält. Der Beweis beruht auf einer Veränderung der relativen Frequenz der positiven \textit{und} negativen Glieder. \textit{Sierpinski} beweist nun den folgenden merkwürdigen Satz: Ist \(\sum a_n=U\) und \(V<U\), so kann man durch alleinige Veränderung der Reihenfolge der positiven Glieder (also unter Belassung der negativen Glieder an der alten Stelle und in der alten Reihenfolge) es erreichen, daß die Reihe mit der Summe \(V\) konvergiert. Analog kann durch alleinige Veränderung der Reihenfolge der negativen Glieder stets der Reihe eine beliebig vorgeschriebene Summe \(T>U\) gegeben werden.