Note on a theorem of \textit{Cesàro}. (Q1483208)

Es sei \(a_n\) eine positive und beständig abnehmende Funktion von \(n\), deren Grenze mit \(n\to\infty\) Null ist; ferner sei \(p_n\) die Anzahl der positiven, \(q_n\) die der negativen Glieder unter den ersten \(n\) Gliedern der Reihe \(\pm a_1\pm a_2\pm a_3\pm\cdots\), so daß \(p_n+q_n=n\). Wenn diese Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent ist, so kann das Verhältnis \(p_n/q_n\) keiner anderen Grenze als der Einheit zustreben, oder, was dasselbe ist, \((p_n-q_n)/n\) kann keiner andern Grenze als der Null zustreben. Wenn \(\sum a_n\) nicht schwächer divergent ist als die harmonische Reihe, d. h. wenn \(na_n\) schließlich größer ist als eine gewisse positive Konstante, dann strebt \(p_n/q_n\) sicherlich einer Grenze (d. h. der Einheit) zu. Für diesen Satz hat \textit{Cesàro} in Rom. Acc. L. Rend. (4) \(4_2\), 133-138 einen ersten, nicht fehlerfreien Beweis gegeben, in Nouv. Ann. (3) 7, 401-407, einen stichhaltigen (vgl. F. d. M. 20, 242, 1888). \textit{Hardy} führt zuerst einen einfacheren und direkteren Beweis und zeigt dann, daß aus dem Gedankengange bei \textit{Cesàro} und durch neue Überlegungen noch tiefere Einsicht in den Gegenstand erhalten werden kann.