A general view of the theory of summable series. (Q1483209)

Die Arbeit macht es sich zur Aufgabe, die vielen verschiedenen Methoden zur Summierung divergenter Reihen (\textit{Euler, Cesàro, Riesz, Borel, Le Roy} u. a.) unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zu betrachten. Das allgemeine Prinzip, das dabei herausspringt, ist dabei das folgende: Ist \(\sum u_n\) die vorgelegte Reihe und \(f(n,p,\nu)\) eine Funktion von drei reellen Veränderlichen mit folgenden Eigenschaften: 1. Sie ist definiert für alle \(n\) und \(p\) alle nicht negativen ganzen \(\nu\). 2. Es ist \(f=0\) für \(\nu>|n|\). 3. \(\lim_{n=\infty}f=\varphi(p,\nu)\) und \(\lim_{n=\infty}f=\psi(p,\nu)\) sind für alle in Betracht kommenden \(p\) und \(\nu\) vorhanden. 4. \(\lim_{n=\infty}f=1,\lim_{\nu=\infty}\varphi(p,\nu)=0,\lim_{\nu= \infty} \psi(p,\nu)=\infty,\lim_{p=\infty}\varphi(p,\nu)=\lim_{p=\infty} \psi(p,\nu)=1.\) Man bilde nun die \(n\)-te Partialsumme \[ S(n,p)=\sum_{\nu=0}^{[|n|]}u_\nu f(n,p,\nu) \] und betrachte die Grenzwerte \[ \lim_{n=\infty}\lim_{p=\infty}S(n,p),\quad\lim_{p=\infty}\lim_{n=\infty} S(n,p),\quad\lim_{\scriptstyle n=\infty\atop \scriptstyle p=\infty}S(n,p) \] und den letzteren Doppelgrenzwert auch unter der Einschränkung, daß \(n\) und \(p\) an einen ``Weg'' \(F(n,p)=0\) gebunden sind. Der erste (iterierte) Grenzwert ist dann und nur dann vorhanden, wenn die Reihe \(\sum u_\nu\) im gewöhnlichen Sinne konvergiert. Der zweite bedeutet (allgemein zu reden) einen \textit{Abel}schen Grenzwert und der dritte je nach der Wahl des ``Weges'' \(F(n,p)=0\) eines der bekannten Summationsverfahren. Dies wird in den folgenden Teilen der Arbeit genau ausgeführt: bei der \textit{Cesàro-Rieß}schen Methoden hat man \[ f(n,p,\nu)=\left\{1\frac{\lambda(\nu)}{\lambda(|n|)}\right\}^\frac{\lambda(n)}p \] zu setzen, wenn \(\lambda(n)\) eine monoton mit \(n\) nach \(+\infty\) wachsende ungerade Funktion bedeutet. Speziell für \(\lambda(n)=n,F(n,p)=n-\alpha p\) hat man die gewöhnliche, von \textit{Riesz} modifizierte, \textit{Cesàro}sche Methode. Für \(\lambda(n)=n\log|n|\) nebst \(F(n,p)=n\log|n|-\alpha p\) erhält man in wesentlichen die Methode \textit{Le Roys}. Eine besondere Gruppe von Methoden erhält man, wenn in \(f(n,p,\nu)\) die Variable \(n\) nicht explizit auftritt; für \(\varphi(p,\nu)=\frac1{\nu!}\int_0^pe^{-x}x^\nu\,dx\) liefert dies die \textit{Borel}sche Methode. Die letzten \S\S \ enthalten eine große Anzahl wichtiger Bemerkungen, die sich speziell auf die \textit{Cesàro-Riesz}sche Methode beziehen.