On the general theory of summability, with applications to \textit{Fourier's} and other series. (Q1483210)

Die vorliegende Arbeit ist als eine weitere Ausführung, Vertiefung und Anwendung der allgemeinen Gedanken anzusehen, die in der vorstehend besprochenen Arbeit von \textit{Chapman} und \textit{Hardy} entwickelt wurden. Der Begriff der Summierbarkeit wird von einem noch etwas allgemeineren Gesichtspunkt aus angesehen als in der eben genannten Schriften und (im zweiten und dritten Teil) mit großem Erfolg zu dem Begriff gleichmäßiger Summierbarkeit erweitert: eine Reihe \(\sum a_n(x)\) heißt in einem Intervall gleichmäßig summierbar, wenn der der Reihe zugeordnete Grenzprozeß dort im gewöhnlichen Sinne gleichmässig konvergiert. Es zeigt sich dann, daß für gleichmäßig summierbare Reihen ganz analoge Sätze bezüglich des Charakters der dargestellten Funktion, der gliedweisen Differenzierbarkeit und Integrierbarkeit usw. gelten wie für gleichmäßig konvergente Reihen. Das Permanenzprinzip, nach dem die Konvergenz notwendig als Spezialfall unter der Summierbarkeit enthalten sein soll, ist also in weitestem Maße erfüllt. Es wird eine große Zahl von Sätzen hergeleitet, die die Verwendung des neuen Begriffs zeigen. Im vierten und fünften Teil wird die Theorie auf die Untersuchung der \textit{Fourier}schen Reihen angewendet. Es werden nicht neue Resultate entwickelt, sondern es wird (allgemein zu reden) gezeigt, daß die Theorie der \textit{Fourier}schen Reihen an Einfachheit, Einheitlichkeit und Durchsichtigkeit gewinnt, wenn man zunächst die Summierbarkeit (im \textit{Cesàro}schen Sinne) dieser Reihen vollständig behandelt und von hier aus zur Konvergenz übergeht, d. h. auf Summierbarkeit 0-ter Ordnung spezialisiert. Im sechsten Abschnitt werden analoge Fragen bezüglich der Entwicklungen nach Kugelfunktionen behandelt.