On non-integral orders of summability of series and integrals. (Q1483211)

Die hier schon des öfteren genannte Methode \textit{Cesàros} zur Summierung von unendlichen Reihen wird in der vorliegenden Arbeit konsequent für nicht ganzzahlige, positive oder negative Ordnungen definiert und untersucht. Dieser Gedanke ist nicht neu, ist aber vom Verf. unabhängig konzipiert und ausgeführt worden. Daher findet sich in der Arbeit zunächst eine ganze Reihe schon bekannter Resultate (vgl. das nachstehende Referat), zu denen insbesondere die meisten Sätze des ersten Teiles gehören, der sich mit der allgemeinen Theorie der Summierung beschäftigt. (Auch hier findet sich der Irrtum, daß der Satz ``\(\lim_{x=1}\sum a_nx^n\) ist gleich der \textit{Cesàro}schen Summe von \(\sum a_n\), falls diese vorhanden'', erst 1907 von \textit{Bromwich} gefunden sei, während er doch schon 1904 in Arbeiten von \textit{Pringsheim} und \textit{Lasker} steht, und auch von diesen nicht mehr als neu bezeichnet wird.) Daneben enthält aber die Arbeit eine nicht unbeträchliche Anzahl wertvoller Ergebnisse, die über die älteren Arbeiten hinausgehen. Hier sind im zweiten Teil, der sich speziell mit den oszillierenden Reihen beschäftigt, die Sätze zu nennen, die den Zusammenhang zwischen den Reihen \(\sum u_n\) und \(\sum u_nn^{-s}\) in bezug auf ihre Summierbarkeit aufdecken, ferner die Sätze über die Summierbarkeit \textit{Fourier}scher Reihen und die Feststellung des Oszillationsgrades der Reihen \(1-2^s+3^s-4^s+\cdots\). Der dritte Teil befaßt sich mit der Summierung konvergenter Reihen, insbesondere der Bestimmung ihres ``Oszillationsgrades'' und desjenigen des Produktes mehrerer Reihen. Der vierte Teil zeigt, wie sich die Methoden und Sätze auf nicht konvergente Integrale übertragen lassen. Besonders interessant ist die Arbeit durch die zahlreichen konkreten Beispiele, durch die gelegentliche Vermutungen widerlegt oder unvermutete Erscheinungen aufgedeckt werden. Hier sei insbesondere \S7 hervorgehoben, wo eine eigentlich divergente Reihen genannt wird, die von negativer Ordnung summierbar ist, und die \S\S 23, 26 und 27, in welch letzterem die ``Verdünnung'' der Reihen durch zwischengeschobene Nullen behandelt wird.