Über Summen der Form \(a_0b_n+a_1b_{n-1}+\cdots+a_nb_0\). (Q1483216)

Es wird das asymptotische Verhalten der im Titel genannten Summen für wachsende \(n\) untersucht. Diese Untersuchung wird für den Fall, daß -- für hinreichend große \(n\) -- \[ \begin{aligned} a_n&=n^{\alpha_0}\log^{\alpha_1}n\log_2^{\alpha_2}n\cdots\log_r^{ \alpha_r}n,\\ b_n&=n^{\beta_0}\log^{\beta_1}n\log_2^{\beta_2}n\cdots\log_s^{\beta _s}n \end{aligned} \] ist und \(\log_rn\) hierbei der \(r\)-fach iterierten Logarithmus bedeutet, vollständig durchgeführt. Es ergibt sich: 1. Ist eine der Reihen \(\sum a_n\) oder \(\sum b_n\) konvergent (es sei dies etwa die zweite), so ist \[ \sum_{\nu=0}^n a_\nu b_{n-\nu}\thicksim a_n\sum_{\nu=0}^\infty b_\nu\text{ oder }\thicksim 2b_n\sum_{\nu=0}^\infty b_\nu, \] je nachdem \(a_n\,\,|\!\!\!\!\!\equiv b_n\) oder \(a_n\equiv b_n\) ist. 2. Sind die beiden soeben genannten Reihen divergent, so hängt das in Rede stehende Verhalten davon ab, welches der erste von \(-1\) verschiedene unter den Exponenten \(\alpha_\lambda\), bzw. \(\beta_\lambda\) ist, und läßt sich, wenn man darüber Festsetzungen trifft, ebenfalls durch einfache Formeln genau angeben. Im zweiten Teil der Arbeit wird die entsprechende Untersuchung für den Fall durchgeführt, daß statt der iterierten Logarithmen in \(a_n\) und \(b_n\) je eine Funktion \(\lambda(n)\), bzw. \(\lambda_1(n)\) steht, die positiv ist und monoton mit \(n\) wächst, jedoch langsamer wächst als jede noch so kleine positive Potenz von \(n\). Endlich werden die Sätze auch auf alle komplexen Folgen \(A_n\) und \(B_n\) ausgedehnt, für die \[ \lim\frac{A_n}{a_n}=a\text{ und }\lim\frac{B_n}{b_n}=b \] vorhanden sind, wenn hierin \(a_n\) und \(b_n\) Folgen der bisher betrachteten Art bedeuten.