Über die Summation divergenter \textit{Fourier}scher Reihen. (Q1483247)

Es wird eine Summationsmethode für \textit{Fourier}sche Reihen entwickelt, die bei großer Einfachheit doch sehr allgemeiner Art ist und die bekannten Verfahren sämtlich als Spezialfälle enthält, insbesondere -- wie ausführlich gezeigt wird -- diejenigen von \textit{Poisson, Riemann} und \textit{Fejér} (d. h. das durch arithmetische Mittel erster Ordnung). Die Entwicklung stützt sich auf den Satz: Sind \(F(\alpha)\) und \(S(\varphi)\) zwei samt ihren Quadraten in \(-\pi\cdots+\pi\) integrable Funktionen mit der Periode \(2\pi\), und sind ihre \textit{Fourier}-Entwicklungen \[ F(\alpha)\thicksim\frac{a_0}2+\sum(a_\nu\cos\nu\alpha+b_\nu\sin\nu \alpha) \] und \[ S(\varphi)\thicksim\frac12A_0+\sum(A_\nu\cos\nu\varphi+B_\nu\sin \nu\varphi), \] so ist die unendliche Reihe \[ J=\frac{a_0A_0}2+\sum[(a_\nu A_\nu+b_\nu B_\nu)\cos\nu x+(b_\nu A_\nu-a_\nu B_\nu)\sin\nu x] \] konvergent und hat den Wert \[ J=\frac1\pi\int_{-\pi}^{+\pi}S(\alpha-x)F(\alpha)\,d\alpha. \] Es wird nun gezeigt: Wenn die Funktion \(S\) positiv ist und von einem, eine gewisse Wertfolge \(p_n\) durchlaufenden Parameter \(p\) abhängt und die beiden Eigenschaften hat: \[ \text{I:}\quad \lim\left[\int_{-\pi}^{x-\delta}S(\alpha x)\,d\alpha+\int_{x+ \delta}^\pi S(\alpha-x)\,d\alpha\right]=0, \] \[ \text{II:}\quad \lim\int_{x-\delta}^{x+\delta}S(\alpha x)\,d\alpha=\pi \] (beides für jedes noch so kleine \(\delta>0\)), so ist \(\lim J=F(x)\) in jedem stetigen Punkte \(x\) von \(-\pi\) bis \(+\pi\) und \(=\frac12[F(x+0)+F(x-0)]\) an jeder Sprungstelle. Für \[ (1)\quad S(\varphi,p)=\frac12\frac{1-p^2}{12p\cos\varphi+p^2}\, (\text{nebst }\lim p=1), \] \[ (2)\quad S(\varphi,p)=\frac1{2p}\frac{\sin^2\frac12p\varphi}{\sin^2\frac12 \varphi}\, (\text{nebst } \lim p=+\infty), \] \[ \begin{multlined}(3)\quad S(\varphi,p)=0\, (\text{für }\pi\leqq\varphi\leqq-p\text{ und }+p\leqq\varphi\leqq+\pi)\;=\frac\pi p\left(1-\frac{|\varphi|}p\right)\,(\text{für }p\leqq\varphi\leqq +p,\,\text{nebst }\lim p=0) \end{multlined} \] erhält man der Reihe nach die Methoden von \textit{Poisson, Fejér} und \textit{Riemann}.