Zur Differentiation bestimmter Integrale nach einem Parameter. (Q1483327)

Es möge die Funktion \[ F(\alpha)=\int_a^bf(x,\alpha)\,dx \] in dem Intervalle \(\alpha_0\leqq \alpha\leqq\alpha_0+\delta\) stetig sein und daselbst, außer im Punkte \(\alpha=\alpha_0\), die durch die Gleichung: \[ F'(\alpha)=\int_a^bf_\alpha^{'}(x,\alpha)\,dx \] bestimmte Ableitung haben. Wenn nun \(F'(\alpha)\) für \(\alpha=\alpha_0+0\) einem bestimmten endlichen oder unendlich großen Grenzwert zustrebt, so existiert für \(\alpha=\alpha_0\) die Derivierte \(\underset{\alpha=\alpha_0} {DF(\alpha)}\) der Funktion \(\underset{\alpha=\alpha_0}{F(\alpha)}\) zur Rechten, und es ist \[ \underset{\alpha=\alpha_0}{DF(\alpha)}=\lim_{\alpha=\alpha_0+ 0}\int_a^bf_ \alpha (x,\alpha)\,dx. \]