Notes on some points in the integral calculus. XXXI. The uniform convergence of \textit{Borel's} integral. (Q1483332)

\textit{Borel} bestimmt die Summe der Potenzreihe (1) \(\sum a_nx^n\) als das Integral \[ (2)\quad s(x)=\int_0^\infty e^{-t}u(tx)\,dt,\text{ wo }(3)\quad u(x)=\sum\frac{a_nx^n}{n!}. \] Wenn der Konvergenzradius von (1) positiv ist, so konvergiert (3) für alle Werte von \(x\). Wenn dagegen der Konvergenzradius von (1) Null ist, so ist die Sache näher zu untersuchen. Die darüber bisher angestellten Betrachtungen ergänzt der Verf. durch das folgende Theorem: Es sei \(u(x)\) eine reelle Funktion von \(x\), stetig für alle positiven Werte von \(x\). Wenn dann das Integral (2) für \(x=1\) konvergiert, so ist es gleichmäßig konvergent für \(0\leqq x\leqq1\). Um die gleichmäßige Konvergenz des Integrales (2) für \(0\leqq x\leqq1\) darzutun, braucht man nur \(u(tx)\) in seinen reellen und seinen imaginären Bestandteil zu zerlegen und das Theorem auf die beiden so erhaltenen Integrale anzuwenden.