\textit{Fourier's} double integral and the theory of divergent integrals. (Q1483343)

\textit{Hardy} knüpft an seine früher gegebenen Untersuchungen an (Further researches in the theory of divergent series and integrals, Cambr. Phil. Soc. Trans. 21, 39-86; F. d. M. 39, 311, 1908; vgl. auch \textit{Sommerfeld}, Die willkürlichen Funktionen in der math. Physik. Inaugural-Diss. Königsberg 1891; F. d. M. 23, 519, 1891). Dort bewies er die Formel: \[ G\int_0^\infty dx\int_\beta^\gamma f(\lambda)\cos(\lambda\xi)x\, d\lambda=\frac12\pi\{f(\xi+0)+f(\xi-0)\}, \] wo \(\beta<\xi<\gamma\) ist, unter den Bedingungen: (I) \(f(\lambda)\) ist integrabel und absolut integrabel in \((\beta,\gamma)\). (II) Es existieren \(f(\xi+0)\) und \(f(\xi-0)\). Hier vervollständigt und verallgemeinert er diese Resultate durch: (I) den Gebrauch einer allgemeineren Form der Definition der summierbaren Integrale, (II) die Annahme, daß das Integrationsintervalle in bezug auf \(\lambda\) unendlich sei, (III) die Annahme, daß \(f(\lambda)\) eine der allgemeineren von \textit{Pringsheim} (Math. Ann. 68, 367-408; F. d. M. 41, 332, 1910) betrachteten Formen hat. Inhalt: I. Introduction. II. Some properties of the summable integral. III. Theorems relating to the inversion of the order of integration in a repeated infinite integral. IV. The limit of the integral \[ \int_0^\infty \varPhi(\delta x)\,dx\int_0^\infty f(\lambda)_{\sin}^{\cos} a\lambda\cos(\lambda-\xi)x\,d\lambda. \] V. Summability by \textit{Cesàro's} method. VI. The introduction of \textit{Cauchy's} principial value. VII. The introduction of a function defined by an infinite series. S. 428 werden einige kritische Bemerkungen über eine Abhandlung von \textit{E. W. Hobson} gemacht (Lond. Math. Soc. Proc. (2) 6, 349-395; F. d. M. 39, 476, 1908).