Notes on some points in the integral calculus. XXXII. On double series and double integrals. (Q1483348)

Lehrsatz: Wenn \(f(x,y)\) stetige partielle Ableitungen \(f_x^{'},f_y^{'}, f_{xy}^{''}\) hat, so ist der absolute Betrag von \[ \sum_1^m\sum_1^n f(\mu,\nu)\int_1^{m+1}\int_1^{n+1}f(x,y)\,dx\,dy. \] nicht größer als \[ \int_1^{m+1}\int_1^{n+1}\left(\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial x}\right|+\left|\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\right|\right)\,dx\,dy. \] Hiervon werden Anwendungen gemacht auf die Entwicklungen von \[ \frac1{(a+x\omega_1+y\omega_2)^s},\frac1{(ax^2+2hxy+by^2)^s},\sum \sum\frac {x^my^n}{(am^2+2hmn+bn^2)^s}. \]