Notes on some points in the integral calculus. XXXIII. Some cases of inversion of the order of integration. (Q1483349)

Der Verf. betrachtet die Formel: \[ \int _{-\infty}^\infty\varphi(x)\,dx\int_{-\infty}^\infty f(\lambda)_{\sin}^ {\cos}\lambda x\,d\lambda=\int_{\infty}^\infty f(\lambda)\,d\lambda\int_{\infty}^\infty\varphi(x)_{\sin}^{\cos}\lambda x\,dx, \] um zu prüfen, wann die Umkehrung in der Folge der Integration gerechfertigt ist. Hierüber werden sechs Theoreme ausgesprochen und bewiesen, von denen die beiden ersten bereits in der Abhandlung des Verf. gegeben waren: ``\textit{Fourier's} double integral and the theory of divergent integrals'' (Cambr. Phil. Trans. 21, 427). Dann werden Anwendungen dieser Sätze auf mehrere Beispiele gemacht.